Die Tageslänge als Sinusfunktion

Ab ungefähr Mitte Januar, wenn die Weihnachtszeit und der Jahreswechsel ein bißchen zurück liegt, merken wir, dass es nachmittags wieder länger hell bleibt. Besonders fällt mir das nach dem Wochenende auf, wenn ich aus dem Büro nach Hause gehe und es etwas heller ist als am Freitag zur gleichen Zeit. Während es rund um den Winteranfang gefühlt immer gleich früh dunkel wird, ändert sich die Tageslänge im Frühjahr fast täglich spürbar. Das wollen wir heute mal als mathematische Funktion modellieren und nachrechnen.

Sonnenaufgänge und -untergänge in Kiel

Wir beginnen damit, dass wir einige Tageslängen „nachmessen“. Wir könnten jeden Morgen früh aufstehen, auf gutes Wetter hoffen und schauen, wann die Sonne den Horizont übersteigt. Oder wir fragen die Webseite timeanddate.com und lesen rund um den Winteranfang die Tageslängen einiger Tage ab. Als Ort habe ich mir Kiel ausgesucht:

DatumSonnenaufgangSonnenuntergangTageslängeVeränderung
20.12.20228:37 Uhr15:56 Uhr7:18:36 h– 0:14
21.12.20228:38 Uhr15:56 Uhr7:18:29 h– 0:07
22.12.20228:38 Uhr15:57 Uhr7:18:29 h< 1 s

Die Tabelle zeigt, was wir schon vermutet haben: Rund um den Winteranfang ändert sich die Länge der Tage kaum. Der Unterschied von wenigen Sekunden pro Tag ist im nicht merkbaren Bereich.

Ganz anders sieht die Lage zum Frühlingsanfang am 20.März 2023 aus:

DatumSonnenaufgangSonnenuntergangTageslängeVeränderung
19.03.202306:25 Uhr18:30 Uhr12:05:01+ 4:24
20.03.202306:22 Uhr18:32 Uhr12:09:25+ 4:24
21.03.202306:20 Uhr18:34 Uhr12:13:49+ 4:24

Die Tage sind im Frühjahr nicht nur deutlich länger als im Winter. Jeder einzelne Tag ist auch noch über 4 Minuten länger als der vorige. Interessanterweise ist die die „Veränderungsgeschwindigkeit“ in diesen Tagen mit +04:24 min/Tag ziemlich konstant.

Die Tageslänge als Funktion modellieren

Wir wollen nun eine Funktion bestimmen, die zu jedem Tag des Jahres die Tageslänge zumindest näherungsweise berechnen kann. Wie geht das? Dazu überlegen wir uns zunächst, welche Eigenschaften diese Funktion haben muss:

  • Sie hat am 21.12. einen Tiefpunkt, um den herum sich die Funktionswerte kaum ändern.
  • Am 21.6. ist bekanntlich der längste Tag, dort hat die Tageslänge einen Hochpunkt.
  • Diese Tage wiederholen sich jedes Jahr wieder, die Funktion ist also periodisch mit einer Periodenlänge von 365 Tagen.

Die bekanntesten periodischen Funktionen sind Sinus und Cosinus. Und auch die Tatsache, dass die unterschiedlichen Tageslängen mit der Kreisbewegung der Erde um die Sonne zusammenhängen, ist ein starkes Argument für die trigonometrischen Funktionen.

Dazu legen wir den 1.Januar 2023 als Tag 0 fest. Und welche Funktion nehmen wir – Sinus oder Cosinus? Das ist egal, denn man kann Sinus und Cosinus durch Verschieben ineinander überführen, also sind sie beide geeignet:

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