Eine Strecke wird in zwei Teilstrecken der Längen $a$ und $b$ geteilt, und zwar derart, dass sich die ganze Strecke zur größeren Teilstrecke verhält wie die größere zur kleineren. Bestimme das Verhältnis von a zu b.
Hinweis: Das „Verhältnis“ ist der Quotient zweier Streckenlängen.
Als Goldenen Schnitt bezeichnet man ein Seitenverhältnis, bei dem eine Strecke so in zwei Teile geteilt wird, dass sich die ganze Strecke zum größeren Stück so verhält wie das größere zum kleineren. Und das war ein ganz schön langer Satz, den du gerne nochmal lesen darfst, wenn du ihn noch nicht verstanden hast. Wir wollen hier gar nicht darüber sinnieren, ob dieses Seitenverhältnis wirklich so harmonisch ist wie immer behauptet, wir wollen es einfach nur ausrechnen. Dabei stoßen wir nämlich auf eine kleine quadratische Gleichung, bei deren Lösung wir wieder die pq-Formel üben können.
Die wichtigste Frage beantworten wir sofort: Was ist ein Seitenverhältnis? Das Seitenverhältnis zweier Seiten $a$ und $b$ ist einfach der Quotient beider Längen:
$$\frac ab$$
Bei einem Seitenverhältnis von $\frac 13$ oder 1 : 3 sagt man zum Beispiel, die Teile verhalten sich wie 1 zu 3.
Beim Goldenen Schnitt heißt es nun: Die ganze Strecke $a+b$ verhält sich zum größeren Stück $a$ wie das größere Stück $a$ zum kleineren $b$:
$$\frac{a+b}a=\frac ab$$
Wir wollen das Seitenverhältnis $\frac ab$ mit $x$ bezeichnen und wollen die Variablen $a$ und $b$ durch $x$ ersetzen. Das schaffen wir, indem wir den linken Bruch in eine Summe aufspalten. Aus $\frac{a+b}a$ wird $\frac aa+\frac ba$, also:
$$1+\frac ba=\frac ab$$
$\frac ab$ haben wir $x$ genannt. $\frac ba$ ist der Kehrwert von $\frac ab$, also $\frac 1x$. Damit erhalten wir die Gleichung
$$1+\frac 1x=x$$
Was ist die erste Regel, wenn wir eine Bruchgleichung lösen wollen? Die Nenner eliminieren, indem wir mit dem Hauptnenner multiplizieren! Also multiplizieren wir die Gleichung mit $x$ und erhalten $x+1=x^2$ und damit die quadratische Gleichung des Goldenen Schnitts:
$$x^2-x-1=0$$
Die Lösung der Gleichung
Ich liebe die pq-Formel. Und ich liebe es sie ohne Taschenrechner anzuwenden. Wie das geht, zeige ich dir nun:
- Wir lesen aus der Gleichung ab: $p=-1$ und $q=-1$.
- Dann ist $-\frac p2=\frac 12$.
- Außerdem ist $\left(\frac p2\right)^2=\frac 14$.
- Aus $q=-1$ machen wir $q=-\frac 44$, damit wir gleich in der Wurzel addieren können.
Nun wenden wir die pq-Formel an und rechnen nur die „plus-Lösung“ aus:
$$x_{1}=\frac 12 + \sqrt{\frac 14+\frac 44}=\frac 12 + \sqrt{\frac 54}=\frac 12+\frac 12\sqrt 5$$
Wenn wir noch die $\frac 12$ ausklammern, erhalten wir den Wert des Goldenen Schnitts:
$$x=\frac 12\left(1+\sqrt 5\right)=\frac{1+\sqrt 5}2=1,618…$$
Die zweite Lösung $x_2$ dieser quadratischen Gleichung ist negativ und kommt daher nicht als Seitenverhältnis in Frage.