Wie viel kosten die Brötchen?

Gestern habe ich unsere Samstagsbrötchen mal bei einem anderen Bäcker geholt und bin über ein Rabatt-Angebot gestolpert, das groß am Tresen beworben wurde:

10 Knackfrische nur 3,50 €. Du sparst 7,9 %!

Ich habe nur gedacht: Toll, ich spare was, her mit den 10 Brötchen! Erst als ich wieder im Auto saß, stellte ich mir die Frage: Wie viel kostet so ein Brötchen denn normalerweise? Danach habe ich mich nämlich nicht erkundigt. Aber mit etwas Prozentrechnung, also Dreisatz, ist das schnell erledigt.

Also, was haben wir? Zehn preisreduzierte Brötchen kosten 3,50 €, das ist der Prozentwert. Und der Prozentsatz? Wir haben die 7,9 %. Aber ist nur der Wert, um den der Preis reduziert wurde. Der tatsächliche Prozentsatz, den wir noch zahlen müssen, ist:

100 % – 7,9 % = 92,1 %

Grundwert berechnen

Gesucht ist der Normalpreis der Brötchen, also der Grundwert in der Prozentrechnung. Wir starten mit dem Dreisatz und schreiben den Prozentwert nach rechts, weil der Grundwert gesucht ist:

92,1 % entspricht 3,50 €.

Wir teilen beide Zahlen durch 92,1 und erhalten:

1 % entspricht \(\frac{3,50}{92,1}\text{ €}\).

Nun multiplizieren wir beide Seiten mit 100 und erhalten:

100 % entspricht \(\frac{3,50\cdot 100}{92,1}\text{ €}= \frac{3,50}{0,921}\text{ €} =3,80\text{ €}\).

Also kosten 10 Brötchen normalerweise 3,80 € und eines demnach 0,38 €. Ich habe also 3 Cent pro Brötchen gespart. Die ganze Rechnung lässt sich wie folgt zusammenfassen:

92,1 % ≙ 3,50 €
1 % ≙ \(\frac{3,50}{92,1}\text{ €}\)
100 % ≙ \(\frac{3,50\cdot 100}{92,1}\text{ €} = 3,80\text €\)

Der Trick mit dem Mehrwertsteuer-Rabatt

Eine andere Aufgabe, die mir in dem Zusammenhang einfällt, ist der Werbetrick mit der „geschenkten“ Mehrwehrtsteuer: Kaufe eine Waschmaschine für 399 € und spare 19 % Mehrwertsteuer! Wie viel kostet dich die Waschmaschine?

Natürlich kann kein Händler dir die Mehrwertsteuer erlassen, denn für jeden Verkauf muss er den Steueranteil an den Staat abführen. Gemeint ist folgendes: Du musst für die Waschmaschine nur so viel bezahlen, wie es dem Nettobetrag des Normalpreises entspricht. Die Frage ist also: Wie groß ist der Nettobetrag, der zu einem Bruttobetrag von 399 € gehört?

Der Prozentsatz bei der Mehrwertsteuer-Rechnung

Die goldene Regel der Prozentrechnung lautet: Der Nettobetrag ist der Grundwert und entspricht 100 %. Der Mehrwertsteuersatz (in Deutschland 19 %) kommt obendrauf, so dass der Bruttobetrag einem Prozentsatz von 119 % entspricht. Deshalb sieht die Rechnung zur Bestimmung des Nettobetrages wie folgt aus:

119 % ≙ 399 €
1 % ≙ \(\frac{399}{119}\text{ €}\)
100 % ≙ \(\frac{399\cdot 100}{119}\text{ €}=\frac{399}{1,19}\text{ €}=335,29\text{ €}\)

Die Rechnung zeigt, dass man zu einem Bruttobetrag sehr einfach einen Nettobetrag berechnen kann: Man teilt ihn durch 1,19.

Berechnung des Rabatt-Prozentsatzes

Aber wie viel Prozent sparst du mit dem Waschmaschinen-Angebot nun wirklich? Bei Rabatten geht es nicht um Mehrwertsteuer, sondern nur darum: Eigentlich kostet sie 399 €, aber du sollst nur 335,29 € dafür bezahlen. Wie viel Prozent Rabatt sind das?

Bei dieser Fragestellung ist der Ausgangspreis von 399 € tatsächlich der Grundwert, der 100 % entspricht. Gesucht ist der Prozentsatz zum Prozentwert 335,29 €, also schreiben wir die Prozente nach rechts und rechnen:

399 € ≙ 100 %
1 € ≙ \(\frac{100}{399}\%\)
335,29 € ≙ \(\frac{100\cdot 335,29}{399}\%\)

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