Wir besprechen, was ein Logarithmus ist und wie man ihn berechnet. Und ich zeige dir einen Trick, mit dem du auch scheinbar komplizierte Logarithmen ganz leicht bestimmst.
Inhaltsverzeichnis
Was ist ein Logarithmus?
Ein Logarithmus fragt nach dem Exponent zu einer Basis, wenn das Ergebnis bereits bekannt ist:
$$2^{??}=16$$
Die Lösung ist 4, denn es ist $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$. Wir schreiben
$$\log_2(16)=4$$
und sprechen: „Der Logarithmus zur Basis 2 von 16 ist 4.“ Man könnte sagen: Der Logarithmus bestimmt, wie oft man die Basis als Faktor braucht, um das Argument in Klammern zu erzeugen.
Beispiele
Im Kopf lässt sich das erstmal nur bestimmen, wenn das genannte Ergebnis auch eine Potenz der Basis ist, wie es bei den folgenden Aufgaben der Fall ist. Berechne diese Logarithmen:
- $\log_4(16)=$
- $\log_3(9)=$
- $\log_4(64)=$
- $\log_5(5)=$
- $\log_{10}(100.000)=$
- $\log_{0,5}(0,125)$
- $\log_8(1)=$
Zehnerlogarithmus
Eine interessante Beispielaufgabe ist $\log_{10}(100.000)$. Wie oft muss ich 10 mit sich selbst multiplizieren, um 100.000 zu erhalten? Die Antwort ist 5: $\log_{10}(100.000)=5$. Logarithmen zur Basis 10 bestimmen also einfach die Anzahl der Nullen einer Zehnerpotenz.
Wenn die Basis 10 ist, lässt man sie übrigens auch gerne weg. Oder andersherum: Wenn keine Basis genannt wird, dann ist die Basis 10. Wir können also schreiben:
$$\log(10.000)=4$$
Logarithmen und Kehrwerte
Was ist $\displaystyle \log_3\left(\frac 13\right)=??$
Die Aufgabe fragt: 3 hoch wieviel ergibt $\frac 13$? Vielleicht erinnerst du dich, dass man Kehrwerte als Potenzen darstellen kann:
$$3^{-1}=\frac 13$$
Warum das so ist, kannst du im Beitrag über Potenzen nachlesen. Mit diesem Wissen können wir nun den Logarithmus angeben:
$$\log_3\left(\frac 13\right)=-1$$.
Die Potenzketten-Methode
Die Kehrwertbildung können wir auch mit „normalen“ Potenzen kombinieren:
$$\log_5\left(\frac 1{25}\right)=-2$$
Das kann man sich mit einer kleinen Potenzkette klarmachen. Das ist eine schöne Methode, um auch komplexere Logarithmen zu berechnen. Wir vereinfachen die Aufgabe, indem wir sie in mehreren Schritten lösen.
Wir starten mit der Basis des Logarithmus und potenzieren diese nacheinander mit geeigneten Exponenten. Auf den Pfeilen steht jeweils der Exponent, der in diesem Schritt anzuwenden ist:
$$5 \xrightarrow{2} 25\xrightarrow{-1}\frac 1{25}$$
Der „Gesamtexponent“ ist dann das Produkt aller einzelnen Exponenten:
$$\log_5\left(\frac 1{25}\right)=2\cdot(-1)=-2$$
Das liegt am Potenzgesetz $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$, nach dem mehrere Exponenten an der gleichen Basis miteinander multipliziert werden. Mit dieser Potenzkette kann man scheinbar sehr komplexe Logarithmen recht einfach in mehreren Schritten lösen, wenn es einen „exponentiellen“ Zusammenhang zwischen Basis und Argument des Logarithmus gibt.
Doch bevor wir das vertiefen, sprechen wir noch die Sache mit den Wurzeln an…
Logarithmen und Wurzeln
Was ist $\log_9(3)$?
Wir suchen einen Exponent $x$, so dass $9^x=3$ ergibt. Wir erkennen, dass 3 die Wurzel aus 9 ist und erinnern uns daran, dass man Wurzeln auch als Potenzen schreiben kann:
$$9^{\frac 12}=3$$
Also ist $\displaystyle\log_9(3)=\frac 12$.
Entsprechendes gilt auch für höhere Wurzeln:
$\displaystyle\log_{81}3=\frac 14$, denn $\displaystyle\sqrt[4]{81}=81^{\frac 14}=3$$.
Oder auch so:
$\displaystyle\log_3\left(\sqrt[5]3\right)=\frac 15$
Wenn wir Wurzeln und Potenzen kombinieren, erhalten wir beliebige Brüche als Exponenten:
$\displaystyle\log_4(8)=\frac 32$
Das rechnen wir mit der schönen „Potenzkette-Methode“ nach:
$\displaystyle 4\xrightarrow{\frac 12}2\xrightarrow{3}8$
Multiplikation der Exponenten ergibt: $\displaystyle\log_4(8)=\frac 12\cdot 3=\frac 32$
Diese Rechnung zeigt wieder: Man muss zwischen Basis des Logarithmus (hier 4) und dem Argument (hier 8) einen exponentiellen Zusammenhang finden. Das kann in mehreren Schritten über Potenzen, Wurzeln und Kehrwerte geschehen.
Nun sind wir bereit, die Beispielaufgabe aus dem Beitragsbild zu lösen:
$$\log_2\frac 1{\sqrt 8}=??$$
Wir beginnen mit der Basis 2 und bilden eine Potenzkette:
$$2\xrightarrow{3}8\xrightarrow{\frac 12}{\sqrt 8}\xrightarrow{-1}\frac 1{\sqrt 8}$$
Multiplikation der Exponenten liefert: $$\log_2\frac 1{\sqrt 8}=3\cdot\frac 12\cdot(-1)=-\frac 32$$
Noch ein größeres Beispiel
Was ist $\displaystyle\log_{0,125}\left(\frac 1{\sqrt[3]{16}}\right)$?
Zunächst stört die Basis 0,125. Potenzen und Logarithmen lassen sich leichter mit Brüchen rechnen. Also wandeln wir 0,125 in einen Bruch um:
$$0,125=\frac 18$$
Mit dieser Basis können wir nun unsere Potenzkette starten:
$$\frac 18\xrightarrow{\frac 13}\frac 12\xrightarrow{4}\frac 1{16}\xrightarrow{\frac 13}\frac 1{\sqrt[3]{16}}$$
Also ist $\displaystyle\log_{0,125}\left(\frac 1{\sqrt[3]{16}}\right)=\frac 13\cdot 4\cdot\frac 13=\frac 4{9}$.
Und wieder einmal die Erinnerung: Wenn ich dich abgehängt habe, lies einfach langsamer und steige weiter oben wieder ein, wo du noch bei mir warst!
Keine gemeinsame Basis erkennbar
Und was macht man, wenn man keine gemeinsame Basis für eine Potenzkette findet, wie bei dieser Aufgabe?
$$\log_2(3)=??$$
Hier kommen wir im Kopf nicht sonderlich weit. Es gibt keine Zahl, so dass 2 und 3 rationale Potenzen dieser Zahl sind. Es ist $2^1=2$ und $2^2=4$, also können wir das Ergebnis etwas eingrenzen:
$$1<\log_2(3)<2$$
Diese Näherung könnte man noch verbessern, aber im Grunde ist das ein Fall für den Taschenrechner, wenn die Potenzketten-Methode scheitert.