Aufgabenstellung
Herr Müller isst jeden Tag in der Werkskantine zu Mittag. Am liebsten isst er dann das Stammessen, das in 95% aller Fälle auch noch verfügbar ist. In 2% aller Fälle bekommt er gar kein Essen mehr. Es wird nun eine Woche mit 5 Arbeitstagen betrachtet. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
- Herr Müller bekommt jeden Tag ein Essen.
- Er bekommt jeden Tag ein Essen, aber nicht einmal das Stammessen.
- Er bekommt jeden Tag ein Essen, aber genau an einem Tag nicht das Stammessen.
- Er bekommt an zwei Tagen kein Essen und an zwei anderen Tagen kein Stammessen.
Schritte zur Lösung
Wir schauen uns zuerst einen Tag an. Herrn Müller können drei Dinge widerfahren: Stammessen (s), ein anderes Essen (a) oder kein Essen (k). Dies sind die möglichen Ergebnisse des einstufigen Zufallsexperimentes „Essen an einem einzelnen Tag“. Wir nennen diese auch Elementarereignisse, denn es sind Ereignisse mit nur einem Element. Und dies sind die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:
- $P(\{s\})=0,95$
- $P(\{k\})=0,02$
- $P(\{a\})=0,03$, denn es gilt: $P(\{s\})+P(\{a\})+P(\{k\})=1$.
Außerdem können wir auch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E = \{s,a\}$ berechnen, dass er überhaupt etwas zu essen bekommt, also Stammessen (s) oder anderes Essen (a):
- $P(E)=P(\{s,a\})=P(\{s\})+P(\{a\})=0,95+0,03=0,98$
Nachdem wir nun im Griff haben, was an einem einzelnen Tag passieren kann, untersuchen wir jetzt die ganze Woche. Es wird mehrstufig!
- Herr Müller bekommt jeden Tag ein Essen. Für einen Tag kennen wir die Wahrscheinlichkeit schon, sie beträgt 0,98. Zu „Jeden Tag ein Essen“ gehört der Pfad eeeee, und zwar nur dieser. Entlang dieses Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert, also gilt:
$$P(\{eeeee\})=0,98^5$$ - „Jeden Tag ein Essen, aber nicht einmal das Stammessen“ bedeutet: Jeden Tag ein anderes Essen „a“ mit Wahrscheinlichkeit 0,03. Dies ist der folgende Pfad in einem Baumdiagramm:
$$P(\{aaaaa\})=0,03^5$$ - „Jeden Tag ein Essen, aber genau an einem Tag nicht das Stammessen“ wird durch folgende Ergebnisse beschrieben:
$$\{assss,sasss,ssass,sssas,ssssa\}$$
Der Pfad $assss$ hat die Wahrscheinlichkeit $0,02\cdot 0,95^4$, ebenso wie alle fünf Pfade dieses Ergebnisses. Und da die Pfadwahrscheinlichkeiten addiert werden, beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit dieses Ereignisses:
$$5\cdot 0,02\cdot 0,95^4$$ - „An zwei Tagen kein Essen und an zwei anderen Tagen kein Stammessen“ bedeutet zum Beispiel das Ergebnis $kkaas$ mit der Wahrscheinlichkeit $0,02^2\cdot 0,03^2\cdot 0,95$. Jetzt müssen wir noch zählen oder berechnen, wie viele Pfade es gibt, denn man kann ja die Reihenfolge der Essen noch vertauschen. Das machen wir so: Wir wählen zunächst aus 5 Tagen 2 aus, an denen es kein Essen gibt. Dafür gibt es $\binom 52$ Möglichkeiten. Aus den restlichen 3 Tagen wählen wir 2 aus, an denen es kein Stammessen gibt. Dafür gibt es $\binom 32$ Möglichkeiten. Also haben wir insgesamt $\binom 52\cdot\binom 32$ Pfade und die Gesamtwahrscheinlichkeit
$$\binom 52\cdot\binom 32\cdot 0,02^2\cdot 0,03^2\cdot 0,95$$