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Ergebnisse abzählen
Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ ist es interessant zu wissen, wie viele Elemente (Ergebnisse) es enthält. Oder vornehm ausgedrückt: welche Mächtigkeit $|A|$ das Ereignis hat.
Die Kombinatorik übernimmt das Zählen dieser Ergebnisse und liefert Formeln, um diese Anzahl zu berechnen. Die Zählaufgaben kommen dabei aus vielen verschiedenen Gebieten:
- Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es beim dreimaligen Werfen eines Würfels, wenn die Reihenfolge der Würfe beachtet wird?
- Wie viele Möglichkeiten der Medaillenvergabe gibt es bei einem Wettkampf mit 8 Läufern?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den 24 Schülern einer Klasse einen dreiköpfigen Ausschuss zusammenzustellen, der die Klassenfahrt vorbereitet?
- Auf wie viele Arten kann man sich aus drei Getränkesorten eine Mixkiste mit 12 Flaschen zusammenstellen?
Urnenmodelle
Es hat sich bewährt, diese Anwendungen in ein Modell zu übersetzen. In diesem Modell gibt es keine Würfel, keine Schüler und keine Getränkesorten. Stattdessen gibt es eine Urne. Das ist einfach ein Topf, und für jeden Schüler (oder worum es gerade geht), ist eine Kugel in diesem Topf. Unterscheidbare Dinge oder Personen erhalten unterschiedliche Kugeln, etwa beschriftet oder verschiedenfarbig. Wichtig ist, dass die gedankliche Urne so mit Kugeln befüllt wird, dass sie die Aufgabe korrekt widerspiegelt.
Für jede Auswahl einer Augenzahl, Person, Getränkesorte… wird nun eine Kugel aus der Urne gezogen. Je nach Aufgabenstellung achten wir dabei auf folgendes:
- Spielt die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle? Haben wir also eine geordnete oder ungeordnete Stichprobe?
- Dürfen Elemente mehrfach ausgewählt werden? Erfolgt die Auswahl also mit Wiederholung oder ohne Wiederholung?
Dadurch entstehen vier Fälle, die praktischerweise genau durch unsere Beispiele repräsentiert werden:
Beispiele
- Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es beim dreimaligen Werfen eines Würfels, wenn die Reihenfolge der Würfe beachtet wird? Die Urne wird mit $n=6$ beschrifteten Kugeln befüllt, und es wird $k=3$ Mal eine Kugel mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge gezogen.
- Wie viele Möglichkeiten der Medaillenvergabe gibt es bei einem Wettkampf mit 8 Läufern?
In der Urne sind $n=8$ Kugeln, die die Läufer repräsentieren. Es wird $k=3$ Mal eine Kugel ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge gezogen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den 24 Schülern einer Klasse einen dreiköpfigen Ausschuss zusammenzustellen, der die Klassenfahrt vorbereitet?
Die Urne wird mit $n=24$ Kugeln für die Schüler befüllt, und es wird $k=3$ Mal eine Kugel ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen. - Auf wie viele Arten kann man sich aus drei Getränkesorten eine Mixkiste mit 12 Flaschen zusammenstellen?
In der Urne sind $n=3$ Kugeln für die Getränkesorten, und es wird $k=12$ Mal eine Kugel mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge eine Kugel gezogen.
Die Kombinatorik-Formeln im Überblick
Wofür nun das Brimborium mit den Urnen? Es gibt für jeden dieser vier Fälle eine Formel, mit der wir die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen können. Und ein Urnenmodell hilft uns dabei, die richtige Formel auszuwählen, weil wir uns dabei überlegen, wie viele Kugeln jeweils in der Urne sind, ob wir mit oder ohne Zurücklegen ziehen und ob wir eine geordnete oder ungeordnete Stichprobe bilden.
Die anfängliche Anzahl der Kugeln im Topf ist die Grundgesamtheit $n$. Und die Anzahl der Ziehungen ist der Stichprobenumfang $k$.
Für die ganz Ungeduldigen unter euch gibt es hier vorab schon die vier Formeln für die Anzahl der Möglichkeiten:
| mit Wiederholung | ohne Wiederholung | |
|---|---|---|
| geordnete Stichproben (Variationen) | $\displaystyle n^k$ | $\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}$ |
| ungeordnete Stichproben (Kombinationen) | $\displaystyle\binom{n+k-1}k$ | $\displaystyle\binom nk$ |
Klicke auf eine der Formeln, wenn du direkt wissen willst, wie die Formel zustande kommt. Oder willst du erstmal klären, was die Fakultät $n!$ und der Binomialkoeffizient $\binom nk$ ist?
Ich empfehle dir aber, als nächstes bei der Produktregel der Kombinatorik weiter zu lesen. Die ist nämlich die Grundlage für alle Formeln der Kombinatorik und hilft dir auch weiter, wenn du mal eine Formel vergessen hast.
Lösung der Beispielaufgaben
Zum Abschluss lösen wir noch die vier Beispielaufgaben auf:
- Der Würfelwurf ist eine geordnete Stichprobe mit Wiederholung und den Parametern $n=6$ und $k=3$. Also gibt es $6^3$ mögliche Würfelergebnisse.
- Beim Läufer-Wettkampf gibt es $n=8$ Läufer und $k=3$ Plätze auf dem Treppchen. Es ist eine geordnete Stichprobe ohne Wiederholung. Dafür gibt es $\frac{8!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6$ Möglichkeiten.
- Aus $n=24$ Schülern werden $k=3$ für den Klassenausschuss ungeordnet und ohne Wiederholung ausgewählt. Dafür gibt es $\binom {24}3$ Möglichkeiten.
- Es gibt $n=3$ Getränkesorten, aus denen $k=12$ Mal eine Sorte ungeordnet und mit Wiederholung ausgewählt wird. Dafür gibt es $\binom{14}{12}$ Möglichkeiten.
Zu jedem dieser Aufgabentypen gibt es eine eigene Seite, auf der die jeweilige Formel hergeleitet wird. Lies dazu einfach weiter.