Bei Laplace-Experimenten hängt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses davon ab, wie viele Elemente es enthält. Deshalb ist es wichtig, dass wir bestimmen können, wie viele Elemente eine Menge enthält. Das Teilgebiet, das Begriffe und Formeln hierfür liefert, ist die Kombinatorik.
Häufig können wir die Anzahl der Elemente einer Menge mit Formeln berechnen. Die entsprechenden Kombinatorik-Formeln liefern wir später. Doch manchmal geht das nicht oder nur umständlich. Dann zählen wir die Elemente, indem wir sie alle auflisten und darauf achten, dass wir keines vergessen. Wie das geht, zeigen wir jetzt.
Beispiel: Würfelergebnisse abzählen
Aufgabe: Drei verschiedenfarbige Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dabei die Augensumme 10 zu erreichen?
Lösungsweg: Wir finden „zum Warmwerden“ zunächst beliebige Würfelergebnisse wie 343 oder 631. Damit wir sicher sein können, dass wir tatsächlich alle Möglichkeiten finden, gehen wir nun systematisch vor:
- Wir setzen den ersten Würfel auf die größtmögliche Zahl 6.
- Den zweiten Würfel lassen wir von groß nach klein alle Zahlen durchlaufen, die möglich sind. Das dritte Würfelergebnis ergibt sich wegen der Augensumme 10 dann automatisch. Damit erhalten wir folgende Ergebnisse: 631, 622,613.
- Nun setzen wir den ersten Würfel auf die nächste Zahl 5 und lassen den zweiten Würfel wieder alle möglichen Ergebnisse durchlaufen: 541, 532, 523, 514.
Mit diesem Verfahren erhalten wir nacheinander folgende Ergebnisse:
- 631, 622, 613
- 541, 532, 523, 514
- 451, 442, 433, 424, 415
- 361, 352, 343, 334, 325, 316
- 262, 253, 244, 235, 226
- 163, 154, 145, 136
Diese Anordnung stellt sicher, dass wir alle möglichen Ergebnisse finden. Sie lässt sich auch auf Buchstaben anwenden und heißt lexikographische Ordnung. Als Wörter betrachtet, würde man die Ergebnisse in dieser Reihenfolge in einem Lexikon finden (aufsteigend oder absteigend sortiert).
Für die Menge der $M$ der Würfelergebnisse mit Augensumme 10 gilt also $|M|=10$. Wie viele mögliche Würfelergebnisse gibt es insgesamt, was ist also $|\Omega|$?
Wann müssen wir die Ergebnisse zählen?
Übungsaufgaben
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Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich aus den Sorten Schokolade, Erdbeere, Vanille, Maracuja und Pistazie ein Eis mit drei Kugeln zusammenzustellen, wenn Maracuja und Pistazie nicht zusammen vorkommen sollen?
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Beim Brettspiel „Siedler von Catan“ würfelt man gleichzeitig mit 2 Würfeln.
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, dabei die Augensumme 7 zu erreichen?
- Erstelle eine Tabelle, die jeder möglichen Augensumme die Anzahl der Möglichkeiten zuordnet.
- Wie viele mögliche Würfelergebnisse gibt es insgesamt?
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Eine Münze mit den Seiten Z („Zahl“) und W („Wappen“) wird viermal geworfen.
- Bestimme alle möglichen Ergebnisse.
- Bei wie vielen Ergebnissen fällt Z und W gleich oft?