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Beispiel: Anordnung von Elementen
Wie viele „Wörter“ kann man aus den Buchstaben M,A,T,H,E bilden, wenn man alle Buchstaben genau einmal verwendet?
Im ersten Zug sind 5 Buchstaben im Topf, im zweiten noch 4, im dritten noch 3 usw. Nach der Produktregel gibt es insgesamt
$$5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$$
Möglichkeiten. Produkte dieser Art kommen sehr oft vor, deshalb haben diese Produkte einen eigenen Namen und eine Kurzschreibweise:
Definition der Fakultät
Das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen bezeichnen wir mit $n!$ (sprich: „$n$ Fakultät“):
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 1$$
Wir wollen einige Fakultäten berechnen:
- $1! = 1 = 1$
- $2! = 1\cdot 2 = 2$
- $3! = 1\cdot 2\cdot 3 = 2!\cdot 3 = 6$
- $4! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 3!\cdot 4 = 24$
- $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 4!\cdot 5 = 120$
- $n! = (n-1)!\cdot n$
Für das Weitere ist es einfacher, wenn auch $0!$ (das „leere Produkt“) einen Wert hat. Deshalb legen wir fest: $0!=1$. Wir stellen es uns so vor, dass ein Produkt ohne echte Faktoren der Wert 1 hat. Das ist plausibel und harmoniert auch mit allen weiteren Berechnungen.
Mit der Fakultät-Schreibweise können wir nun eine kurze Antwort auf unsere Ausgangsfrage geben: Es gibt $5!$ Möglichkeiten, aus den Buchstaben M,A,T,H,E ein Wort zu bilden.
Solch eine Anordnung heißt eine Permutation. Die Fakultät $n!$ gibt also an, wie viele Permutation es von $n$ Dingen gibt.
Die Fakultät des Nachfolgers bestimmen
Wenn wir die Fakultät einer Zahl kennen, können wir leicht die Fakultät der Nachfolger-Zahl berechnen: Wenn wir schon wissen, dass $5! = 120$ ist, dann gilt:
$$6! = 5!\cdot 6=120\cdot 6=720$$
DIe Fakultät induktiv definieren
Auf diese Weise können wir die Fakultät auch induktiv definieren. Wir stellen uns vor, den Ausdruck $n!$ gibt es noch nicht, und wir wollen für jede natürliche Zahl und 0 festlegen, was der Ausdruck bedeutet:
- Wir legen den „Startwert“ fest: $0!=1$. Dies ist der Induktionsanfang.
- Wenn für eine Zahl $n$ schon die Fakultät $n!$ definiert ist, definieren wir $(n+1)!=$n!\cdot (n+1)$. Dies ist der Induktionsschritt.
Auf diese Weise wird für jede natürliche Zahl und 0 definiert, was die Fakultät ist:
- Es ist $0!=1$ nach Induktionsanfang.
- Es ist $1!=0!\cdot 1=1\cdot 1=1$ nach Induktionsschritt.
- Es ist $2!=1!\cdot 2=1\cdot 2=2$ nach Induktionsschritt.
- Es ist $3!=2!\cdot 3=2\cdot 3=6$ nach Induktionsschritt.
- …usw…
Es ist wie bei einem Dominospiel: Der Induktionsanfang wirft den ersten Stein um, und der Induktionsschritt sorgt dafür, dass jeder umgeworfene Stein den nächsten umwirft.
Induktive Definitionen sind in der Schule aber nicht so wichtig. Wichtiger ist, dass du mit der Fakultät gut rechnen kannst. Und dazu kommt jetzt noch etwas Wichtiges:
Fakultäten dividieren – Teile von Fakultäten
Wenn wir Fakultäten durcheinander dividieren, kürzen sich die Faktoren der kleineren Fakultät heraus:
$$\frac{9!}{6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot \cancel 6\cdot \cancel 5\cdot \cancel 4\cdot \cancel 3\cdot \cancel 2\cdot \cancel 1}{\cancel 6\cdot \cancel 5\cdot \cancel 4\cdot \cancel 3\cdot \cancel 2\cdot \cancel 1}=9\cdot 8\cdot 7$$
Es wäre also ein grober Fehler, wenn man irgendwie die 9 mit der 6 in den Fakultäten kürzen wollte.
Produkte mit Fakultäten ausdrücken
Umgekehrt können wir auch Produkte, die nicht bei 1 beginnen, mit Fakultäten beschreiben, indem wir die fehlenden Faktoren zu einem Bruch erweitern:
$$7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}1=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{7!}{3!}=\frac{7!}{(7-4)!}$$
Diese Idee wird uns im nächsten Abschnitt helfen, geordnete Stichproben mit Fakultäten zu beschreiben. Lies dazu hier weiter.