Zufallsexperiment und Ergebnisse

Im Alltag begegnen uns viele Situationen, deren Ausgang wir nicht mit Sicherheit vorhersagen können:

  1. Welcher Schüler wird heute aufgerufen, um die Mathe-Hausaufgaben vorzurechnen?
  2. Wie wird das Wetter am Wochenende in Wacken?
  3. Welche Mannschaft wird Fußball-Weltmeister?
  4. Wie wird sich der Kurs einer bestimmten Aktie im nächsten Monat entwickeln?

Bei all diesen Vorgängen sind verschiedene Ergebnisse möglich, genau eines von ihnen wird eintreten, aber wir wissen vorher nicht, welches das sein wird. Und bei der nächsten gleichartigen Durchführung kann es auch ein anderes sein. Solch einen Vorgang nennen wir ein Zufallsexperiment, und jeder mögliche Ausgang heißt ein Ergebnis.

Ergebnismenge aufstellen

Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes bilden die Ergebnismenge. Sie wird oft mit $S$ oder $\Omega$ bezeichnet. So könnten Ergebnismengen der eben genannten Zufallsexperimente aussehen:

  1. Alle Schüler der Klasse: S = { Anton, Ben, Clara,… }
  2. Wetter in Wacken am Samstag um 18 Uhr: S = { Regen, bewölkt, sonnig }
  3. Alle Teilnehmer der Weltmeisterschaft: S = { Frankreich, Spanien, Brasilien, Curacao, Deutschland,… }
  4. Möglicher Kurs der Aktie heute in einem Monat: Alle nichtnegativen reellen Zahlen $S=\mathbb R_{\ge 0}$.

Wichtig ist, dass alle theoretisch möglichen Ergebnisse aufgelistet werden. Deshalb werden auch Curacao und Deutschland als mögliche Weltmeister genannt und auch ein Kurswert der Aktie von 100.000.000.000 €.

Klassische Zufallsexperimente: Würfel, Münze, Glücksrad

Dinge wie das Wetter und Aktienkurse sind sehr komplex und unterliegen vielen Einflüssen, die selbst auch mit großer Unsicherheit behaftet sind. Sie taugen also nicht als Studienobjekte für einen Stochastik-Grundkurs.

Zum Glück gibt es einfachere und übersichtlichere Objekte, an denen wir zufälliges Geschehen ebenso gut untersuchen können. Die Prinzipien, die wir hier entdecken, sind die gleichen wie beim Aktienkurs und beim Regen in Wacken.

  1. Wir werfen einen Würfel und stellen fest, welche Augenzahl geworfen wurde: Die Ergebnismenge ist $S=\{1;2;3;4;5;6\}$.
  2. Wir werfen eine Münze und beobachten, ob Zahl oder Wappen oben liegt: $S=\{Z;W\}$.
  3. Wir drehen ein Glücksrad und bestimmen die Farbe des gedrehten Sektors: $S=\{\text{rot},\text{blau},\text{grün},\text{gelb}\}$.
  4. Wir ziehen eine Kugel aus einem Topf (Urne genannt) und lesen die Zahl auf der Kugel ab. Die Ergebnismenge besteht aus allen Zahlen, die in der Urne vertreten sind.

Falsche Ergebnismengen

Jeder mögliche Ausgang muss in der Ergebnismenge vertreten sein. Außerdem ist es wichtig, dass sich die verschiedenen Ergebnisse nicht überschneiden. Jeder Ausgang wird also nur von einem Ergebnis repräsentiert. Hier kommen einige Beispiele für fehlerhafte Ergebnismengen:

  1. Würfelwurf: S‘ = { gerade Zahl, Primzahl } – Fehler: Die 1 ist nicht vertreten, und die 2 erfüllt beide „Ergebnisse“.
  2. Münzwurf: S‘ = { Kopf, Zahl, Wappen } – Fehler: Eine Münze hat nur zwei verschiedene Zustände. Wenn eine andere Münze anstelle eines Wappens einen Kopf hat, muss man die zwei Ergebnisse anders benennen.
  3. Glücksrad: S‘ = { rot, blau, gelb, grün, 1,2,3 } – Fehler: Selbst wenn das Glücksrad wie nebenstehend Farben und Zahlen hat, muss man sich entscheiden, welches Merkmal man untersuchen möchte – Farben oder Zahlen. Du willst trotzdem Farben und Zahlen gleichzeitig untersuchen, also z.B. wissen, ob 3 und rot erdreht wurde? Das können wir mit mehrstufigen Experimenten behandeln.

Verschiedene Ergebnismengen sind möglich

Die nachfolgenden Ergebnismengen sind aber zulässig für unsere Experimente:

  1. Würfelwurf: S = { gerade Zahl, ungerade Zahl } – Jedes Würfelergebnis erfüllt genau eines von beiden
  2. Münzwurf: S = { Kopf, nicht Kopf }
  3. Glücksrad drehen: S = { rot, blau, andere Farbe } – Jede Farbe entspricht genau einem der genannten Ergebnisse

Es gibt also verschiedene Möglichkeiten, für dasselbe Zufallsexperiment eine Ergebnismenge aufzustellen. Das kann die Sache deutlich vereinfachen, wenn man sich nur für gerade oder ungerade Zahlen interessiert und die Ergebnismenge nur zwei Elemente enthält und nicht sechs.

Die Ergebnismenge ist ein Modell

Und was ist, wenn die Münze auf dem Rand stehen bleibt oder im Flug von einer Elster stibitzt wird? Solche besonders abwegigen Ergebnisse können wir als nicht relevant für unser Zufallsexperiment ansehen und weglassen. Wir stellen also ein Modell für das zufällige Geschehen auf. In diesem Modell gibt es keine Elstern, und Münzen landen nicht auf dem Rand. Wenn wir davon überzeugt sind, dass unser Modell die Realität hinreichend gut beschreibt, dann ist das vollkommen in Ordnung.

Zusammenfassung

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mehrere Ergebnisse möglich sind. Genau eines davon wird eintreten, aber wir können nicht vorhersagen, welches das sein wird. Alle möglichen Ergebnisse fassen wir in der Ergebnismenge zusammen. Das kann auf verschiedene Weisen geschehen, aber wir müssen darauf achten, dass jeder mögliche Ausgang des Experimentes von genau einem Ergebnis repräsentiert wird.

Übungsaufgaben „Zufallsexperiment und Ergebnisse“

  1. Aus den abgebildeten Urnen wird eine Kugel gezogen. Gib jeweils eine mögliche Ergebnismenge an.
  1. In einer Urne befinden sich 10 weiße und 15 schwarze Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 25 nummeriert sind. Es wird eine Kugel gezogen und die Farbe festgestellt. Bestimme die Ergebnismenge.
  2. Ein Zufallsgenerator ermittelt eine Zufallszahl zwischen 1 und 100. Bestimme die Ergebnismenge für das Merkmal „Rest bei Division durch 7“.
  3. Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen und die Augensumme (das Augenprodukt) festgestellt. Bestimme die Ergebnismenge.
  4. Welche Möglichkeiten gibt es, sich aus den Sorten Schokolade, Vanille, Erdbeere und Pistazie ein Eis mit zwei Kugeln zusammenzustellen?

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

Ein Ergebnisraum für die erste Urne ist S = { M, A, T, H, E, O, L }. Beachte, dass Buchstaben nicht mehrfach in der Ergebnismenge enthalten sind, da für das Ergebnis nur der jeweilige Buchstabe relevant ist. Salopp gesagt: „T ist T“.

Für die zweite Urne ist der Ergebnisraum S = {1, 2, 3 }. Wieder werden Zahlen nicht doppelt aufgeführt.

Bei der dritten Urne gibt es verschiedene Möglichkeiten. Wird das Merkmal „Farben“ untersucht, ist der Ergebnisraum $S_1 = \{ \text{rot},\text{gelb},\text{grün}\}$. Für die Untersuchung des Merkmals „Zahlen“ ist hier der Ergebnisraum $S_2=\{1,2,3,4,5,6\}$.

Aufgabe 2

Es wird die Farbe festgestellt, also ist die Ergebnismenge $S=\{\text w,\text s\}$. Die Zahlen sind nicht relevant für das Zufallsexperiment.

Aufgabe 3

Die Ergebnismenge besteht aus allen möglichen Resten bei Division durch 7. Also ist $S=\{0;1;2;3;4;5;6\}$.