Im Alltag begegnen uns viele Situationen, deren Ausgang nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Verschiedene Ausgänge sind möglich, genau einer von ihnen wird eintreten, aber wir wissen nicht, welcher das sein wird. Und bei der nächsten gleichartigen Durchführung kann es auch ein anderer sein.
Inhaltsverzeichnis
Beispiele für zufällige Vorgänge
Wir geben einige Beispiele für reale Vorgänge, die vom Zufall bestimmt sind:
- Wie viele Schüler der Klasse haben ihre Mathe-Hausaufgaben zu heute erledigt?
- Wird es am Wochenende in Wacken regnen?
- Welche Mannschaft wird Fußball-Weltmeister?
- Wie wird sich der Kurs einer bestimmten Aktie im nächsten Monat entwickeln?
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wollen wir solche Fragen danach bewerten, wie wahrscheinlich ein bestimmter Ausgang ist. Solche Ausgänge können sein:
- eine Zahl zwischen 0 und 24 (wenn die Klasse 24 Schüler hat)
- eine Regenwahrscheinlichkeit zwischen 0% und 100% (oder 0 und 1)
- Spanien, Frankreich, Argentinien, Brasilien, Curaçao, Deutschland,… (Ja, auch diese werden aufgelistet, denn zunächst ist es wichtig, alle theoretisch denkbaren Ausgänge zu erwähnen.)
- jede positive reelle Zahl (auch wieder: Die Aktie wird nicht 100.000.000.000 € wert sein, aber jeder theoretisch mögliche Wert wird aufgenommen.)
Den Zufall am Modell untersuchen
All diese Vorgänge sind sehr komplex und unterliegen vielen Einflüssen, die selbst auch mit großer Unsicherheit behaftet sind. Aktienkurse und Regenwahrscheinlichkeiten taugen also nicht als Studienobjekte für einen Stochastik-Grundkurs. Zum Glück gibt es einfachere und übersichtlichere Objekte, an denen wir zufälliges Geschehen ebenso gut untersuchen können. Die Prinzipien, die wir hier entdecken, sind die gleichen wie beim Aktienkurs und beim Regen in Wacken.
- Werfen eines Würfels / Feststellen der geworfenen Augenzahl
- Werfen einer Münze / Feststellen, ob Zahl oder Wappen oben liegt
- Drehen eines Glücksrades / Bestimmung der Farbe des gedrehten Sektors
- Ziehen einer Kugel aus einer Urne / Bestimmung der Farbe der Kugel
Solch einen Versuch nennen wir ein Zufallsexperiment. Und jeder mögliche Ausgang heißt ein Ergebnis. Bei den eben genannten Zufallsexperimenten könnten folgende Ergebnisse auftreten:
- Augenzahlen 1,2,3,4,5,6
- Die Seiten Z,W
- Farben rot, blau, gelb, grün
- Alle Farben, die in der Urne vorhanden sind
Die Ergebnisse korrekt auflisten
Folgendes ist bei der Auflistung der Ergebnisse eines Zufallsexperimentes wichtig: Jeder mögliche Ausgang ist vertreten, und die verschiedenen Ergebnisse überschneiden sich nicht.
Die nachfolgenden Ergebnismengen stellen keine ausreichende Beschreibung unserer Zufallsexperimente dar:
- { gerade Zahl, Primzahl } – Fehler: Die 1 ist nicht vertreten, und die 2 erfüllt beides.
- { Kopf, Zahl, Wappen } – Fehler: Eine Münze hat nur zwei verschiedene Zustände. Wenn eine andere Münze anstelle eines Wappens einen Kopf hat, muss man die zwei Ergebnisse anders benennen.
- { rot, blau, gelb, grün, 1,2,3 } – Fehler: Selbst wenn das Glücksrad zusätzlich noch Zahlen hat, muss man sich entscheiden, welches Merkmal man untersuchen möchte – Farben oder Zahlen.
Die nachfolgenden Ergebnismengen sind aber zulässig für unsere Experimente:
- [ gerade Zahl, ungerade Zahl } – Jedes Würfelergebnis erfüllt genau eines von beiden
- { Kopf, nicht Kopf }
- { rot, blau, andere Farbe } – Jede Farbe entspricht genau einem der genannten Ergebnisse
Es ist also möglich, für dasselbe Zufallsexperiment verschiedene Ergebnismengen aufzustellen. Das kann die Sache deutlich vereinfachen, wenn man sich nur für gerade oder ungerade Zahlen interessiert und die Ergebnismenge nur zwei Elemente enthält und nicht sechs.
Und was ist, wenn die Münze auf dem Rand stehen bleibt oder im Flug von einer Elster stibitzt wird? Solche besonders abwegigen Ergebnisse können wir als nicht relevant für unser Zufallsexperiment ansehen und weglassen. Wir stellen also ein Modell für das zufällige Geschehen auf. In unserem Modell gibt es keine Elstern, und Münzen landen nicht auf dem Rand. Wenn wir davon überzeugt sind, dass unser Modell die Realität hinreichend gut beschreibt, dann ist das vollkommen in Ordnung.
Mehrstufige Zufallsexperimente
Definition: Zufallsexperiment und Ergebnismenge
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der unter gleichen Bedingungen beliebig wiederholt werden kann. Es tritt genau ein Ergebnis aus einer definierten Ergebnismenge S ein. Welches das ist, unterliegt dem Zufall und kann nicht vorhergesagt werden.