Im Alltag sind wir überall von Vorgängen umgeben, deren Ausgang wir nicht vorhersagen können:
- Wie wird das Wetter am Samstag in Wacken?
- Welcher Schüler heute aufgerufen, die Mathe-Hausaufgabe vorzurechnen?
- Welche Mannschaft wird Fußball-Weltmeister?
- Wie wird sich der Kurs einer bestimmten Aktie im nächsten Monat entwickeln?
All diese Dinge können wir nicht vorausberechnen – einfach weil ihr Ausgang noch gar nicht feststeht. Das Gebiet, das sich mit diesen Unsicherheiten beschäftigt, ist die Stochastik. Und solche Vorgänge mit ungewissem Ausgang heißen Zufallsexperimente.
Vorhersagen in der Stochastik
Da wir nicht vorhersagen können, wie ein zufälliges Experiment ausgeht, bestimmen wir in der Stochastik zunächst alle möglichen Ergebnisse. Bei obigen Beispielen könnte das so aussehen:
- Sonnenschein, bewölkt, Regen, Hagel, Schneefall
- Anton, Ben, Clara,… (alle Schüler der Klasse)
- Spanien, Frankreich, Deutschland, Curacao,… (alle Teilnehmer der WM)
- jede reelle Zahl größer oder gleich 0
Diese Auflistung heißt die Ergebnismenge des Zufallsexperimentes. Dabei achten wir auf folgende Dinge:
- Die Liste soll vollständig sein, d.h. jeder noch so unwahrscheinliche Ausgang ist vertreten.
- Die verschiedenen Ergebnisse sollen sich nicht überschneiden, es tritt also genau eines dieser Ergebnisse ein.
Beim Wetter in Wacken könnte man das erreichen, indem man einen bestimmten Zeitpunkt festlegt, zum Beispiel Samstag 12 Uhr. Mit etwas Phantasie kann man dann jedes mögliche Wetter mit einem dieser Ergebnisse identifizieren.
Wahrscheinlichkeiten
Wie schon gesagt, möchte die Stochastik nicht vorhersagen, welches Ergebnis eintritt. Aber sie möchte für jedes dieser Ergebnisse eine zahlenmäßige Wahrscheinlichkeit angeben, mit der dieses Ergebnis eintritt.
Beispiele:
- Sonnenschein in Wacken $\longrightarrow$ 30 %
- Anton wird aufgerufen $\longrightarrow$ 90 %
- Spanien wird Weltmeister $\longrightarrow$ 60 %
- Der Kurs der Aktie beträgt in einem Monat 142,94 € $\longrightarrow$ 0 %
Wo diese Zahlenwerte herkommen? Die habe ich mir ausgedacht. Und da zeigt sich schon ein Problem bei Zufallsexperimenten wie dem Wetter oder Aktienkursen: Sie sind zwar realistisch, aber sehr komplex und in der Schule nicht berechenbar. Wir sind halt keine Meteorologen und Finanzmathematiker.
Wahrscheinlichkeit in der Schule
Deshalb studieren wir Wahrscheinlichkeit in der Schule zunächst an einfacheren Gegenständen wie Würfeln, Glücksrädern und Kartenspielen. Hier wird es uns gelingen, Modelle aufzustellen, in denen wir Wahrscheinlichkeiten tatsächlich berechnen können.
Aber keine Sorge: Die Begriffe und Prinzipien, die wir hier kennenlernen, sind die gleichen, die auch die Meteorologen und Finanzmathematiker verwenden. Wir studieren sie nur an einfacheren Gegenständen.
Es ist also eine gute Idee, wenn wir zum Einstieg nicht das Wetter untersuchen, sondern den Würfel. Und damit starten wir gleich auf der nächsten Seite.