Wir wollen nun den Ereignissen eines Zufallsexperimentes Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Als Beispiel betrachten wir das folgende Glücksrad mit der Ergebnismenge $\Omega=\{\text{rot},\text{gelb},\text{grün}\}$.
Die Ereignisse als Teilmengen
Die Ereignisse sind die Teilmengen der Ergebnismenge. Davon gibt es insgesamt 8 Stück:
- mit 3 Elementen: $\{\text{rot},\text{gelb}\,\text{grün}\}$ als das sichere Ereignis $\Omega$
- mit 2 Elementen: $\{\text{rot}, \text{gelb}\}$, $\{\text{rot}, \text{grün}\}$, $\{\text{gelb}, \text{grün}\}$,
- mit einem Element: $\{\text{rot}\}$, $\{\text{gelb}\}$, $\{\text{grün}\}$,
- mit keinem Element: $\emptyset$ als das unmögliche Ereignis.
Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse
Wir wollen jedem dieser Ereignisse eine Zahl zwischen 0 (=0 %) und 1 (= 100 %) zuordnen, die die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Ereignisses beschreibt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ bezeichnen wir mit $P(E)$.
Am einfachsten ist es, wenn wir zunächst den Elementarereignissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Wir erinnern uns: Das sind die Ereignisse, die nur ein einziges Ergebnis enthalten. Wenn wir beim Glücksrad die Wahrscheinlichkeit der Farben nach der Größe der Sektoren festlegen, erhalten wir folgende Wahrscheinlichkeiten:
| Elementarereignis $E$ | $\{\text{rot}\}$ | $\{\text{grün}\}$ | $\{\text{gelb}\}$ |
| Wahrscheinlichkeit $P(E)$ | $\frac 14$ | $\frac 14$ | $\frac 12$ |
Die Wahrscheinlichkeiten der anderen Ereignisse erhalten wir dann, indem wir die darin enthaltenen Elementarwahrscheinlichkeiten addieren, zum Beispiel:
$P(\{\text{rot},\text{grün}\})=P(\{\text{rot}\})+P(\{\text{grün}\})$
Insbesondere erhalten wir damit:
$$P(\Omega)=\frac 12+\frac 14+\frac 14=1=100\%$$
Das ergibt Sinn, denn eines der Ergebnisse von $\Omega$ wird auf jeden Fall eintreten.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P
Auf diese Weise können wir zu jedem Ereignis, also jeder Teilmenge des Ergebnisraums eine Wahrscheinlichkeit angeben, mit der dieses Ereignis eintritt. Beispiele:
- $P(\emptyset)=0$ als das unmögliche Ereignis,
- $P(\{\text{rot}\})=\frac 14$,
- $P(\{\text{rot}, \text{gelb}\})=\frac 14+\frac 12=\frac 34$,
- $P(\{\text{rot},\text{gelb}\,\text{grün}\})=\frac 14+\frac 12+\frac 14=1$ als das sichere Ereignis $\Omega$
Damit haben wir jedem Ereignis $E\subseteq\Omega$ eine Zahl $P(E)$ zwischen 0 und 1 zugeordnet. Zunächst haben wir jedem Elementarereignis eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet und darauf geachtet, dass die Summe aller Elementarwahrscheinlichkeiten 1 ergibt. Die Wahrscheinlichkeiten der übrigen Ereignisse ergeben sich als Summe der enthaltenen Elementarwahrscheinlichkeiten.
Eine Funktion $P$, die auf diese Weise jedem Ereignis $E\subseteq\Omega$ eine Wahrscheinlichkeit $P(E)$ zuordnet, nennen wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Laplace-Experimente
Eine besonders häufige und wichtige Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das Modell sieht dann keinen Anlasse, ein Elementarereignis gegenüber dem anderen zu bevorzugen. Lies also gleich weiter, um alles über Laplace-Experimente zu erfahren.