Gegenereignis/Komplement (wichtig!)
Das Gegenereignis $\overline S$ (sprich: „S quer“) beschreibt, dass das Ereignis $S$ nicht eintritt. Es enthält alle Ergebnisse, die nicht in $S$ enthalten sind:
$$\overline S=\{\ \omega\in\Omega\ |\ \omega\notin S\}$$
In der Mengenlehre spricht man vom Komplement einer Menge, und wenn wir in der Stochastik unterwegs sind, sagen wir Gegenereignis. Hier kommen einige Gegenereignisse unserer Beispielmengen:
- $\overline A=\{1;3;5\}$ – Die Augenzahl ist nicht gerade (also ungerade).
- $\overline B=\{1;4;6\}$ – Die Augenzahl ist keine Primzahl.
- $\overline D=\{1;2;3\}$ – Die Augenzahl ist nicht größer oder gleich 4 (also kleiner als 4 oder auch kleiner oder gleich 3).
Es ist eine wichtige Übung, das Gegenereignis sprachlich zu formulieren. Besonders $\overline D$ ist hier lehrreich und wird im Kapitel Zufallsgrößen oft benötigt:
nicht größer oder gleich 4 $\Longrightarrow$ kleiner als 4 (oder auch: kleiner als 3)
Das Gegenereignis kann manchmal die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten großer Ereignisse sehr vereinfachen. Das liegt an folgender Regel für Wahrscheinlichkeiten:
$$P(S)+P(\overline S)=1$$
In Worten: Entweder tritt $S$ ein oder nicht. Diese Regel hilft immer dann, wenn $P(S)$ schwer zu berechnen ist, aber $P(\overline S)$ leicht. Mehr dazu im Kapitel Zufallsgrößen.