Wir beschreiben Zufallsexperimente durch die möglichen Ergebnisse, die eintreten können. Diese haben wir in der Ergebnismenge zusammengefasst. Zum Beispiel haben wir beim Würfelwurf die Ergebnismenge $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.
Oft wollen wir aber gar nicht genau wissen, welches einzelne der (manchmal sehr vielen) Ergebnisse eingetreten ist. Uns interessiert nur, ob das Ergebnis bestimmte Merkmale erfüllt (z.B. Frau, älter als 30 Jahre). Deshalb fassen wir Ergebnisse zu Mengen zusammen und nennen diese Mengen Ereignisse.
Inhaltsverzeichnis
Was ist ein Ereignis?
Ein Ereignis ist eine Teilmenge $T$ der Ergebnismenge $\Omega$:
$T\subseteq\Omega$
Oft können wir mit Worten beschreiben, welche Ergebnisse ein Ereignis enthalten soll, indem wir das Merkmal nennen, das uns interessiert. Beim Würfel können solche Ereignisse sein:
- Es wird eine gerade Zahl gewürfelt: $A=\{2;4;6\}$
- Es wird eine Primzahl gewürfelt: $B=\{2;3;5\}$
- Die Augenzahl ist kleiner als 3: $C=\{1;2\}$
- Die Augenzahl ist größer oder gleich 4: $D=\{4;5;6\}$
- Die Augenzahl ist kleiner als 10: $S=\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$. Dies ist das sichere Ereignis, das auf jeden Fall eintritt.
- Die Augenzahl ist größer als 10: $T=\emptyset$. Dies ist das unmögliche Ereignis, das nicht eintreten kann.
Ein Ereignis beschreibt also ein bestimmtes Merkmal. Das kann eine qualitative Beschreibung sein („kleiner als 3“) oder einfach eine Auflistung von Ergebnissen ($\{1;5\}$). In jedem Fall ist ein Ereignis $E$ eine Teilmenge der Ergebnismenge: $E\subseteq\Omega$.
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Wie wahrscheinlich ist es, dass ein bestimmtes Merkmal erfüllt ist? Das wollen wir mathematisch beschreiben und dazu jedem Ereignis $E$ eine Zahl zwischen 0 (= 0 %) und 1 (= 100 %) ordnen. Diese Zahl nennen wir die Wahrscheinlichkeit von E, geschrieben $P(T)$:
$$E\mapsto P(E)$$
Elementarereignis
Ein Elementarereignis ist ein Ereignis, das nur ein einziges Ergebnis enthält, zum Beispiel:
$$E=\{1\}$$
Die Elementarereignisse sind diejenigen Ereignisse, denen wir als erstes Wahrscheinlichkeiten zuordnen werden.
Verknüpfung von Ereignissen
Wir können Ereignisse $S$ und $T$ auf verschiedene Weise zu einem neuen Ereignis verknüpfen:
- Die Vereinigung $S\cup T$ beschreibt, dass eines der Ereignisse $S$ und $T$ eintritt.
- Die Schnittmenge $S\cap T$ beschreibt, dass beide Ereignisse eintreten.
- Die Differenz $S\setminus T$ beschreibt, dass $S$ eintritt, aber nicht $T$.
- Das Gegenereignis $\overline S=\Omega\setminus S$ beschreibt, dass $S$ nicht eintritt.
Das schauen wir uns jetzt genauer an.
Zusammenfassung
Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge und fassen Ergebnisse mit einem bestimmten Merkmal zu einer Menge zusammen. Die Ereignisse sind die Objekte, denen wir Wahrscheinlichkeiten zuordnen wollen. Mit Hilfe der Mengenoperationen können wir mehrere Ereignisse zu neuen Ereignissen verknüpfen. Das Gegenereignis ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten großer Ereignisse.
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Übungsaufgaben zu Ereignissen
Aufgabe 1
Ein Dodekaeder mit 12 kongruenten Flächen ist mit den Zahlen 1 bis 12 beschriftet. Es wird einmal gewürfelt und die oben liegende Augenzahl festgestellt.
- Notiere den Ergebnisraum für dieses Zufallsexperiment.