Exponentielles Wachstum
Wenn sich ein Bestand in gleichen Zeitabständen immer um dem gleichen Faktor vermehrt, nennt man das ein exponentielles Wachstum. Solch ein Bestand kann zum Beispiel sein:
- ein Kapital
- eine Bakterienkultur
- Social-Media-Reichweite
- Bevölkerung
Beispiel: Eine Bakterienkultur verdoppelt ihren Bestand jede Stunde. Zu Beginn der Beobachtung sind 300 Bakterien vorhanden. Wir erstellen eine Wertetabelle für den Bestand für die ersten Stunden:
| t in Stunden | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Anzahl Bakterien | 300 | 600 | 1200 | 2400 | 4800 |
Wir erkennen, dass das absolute Wachstum immer schneller wird. In der ersten Stunde nimmt der Bestand um 300 zu, zwischen Stunde 3 und 4 schon um 2400. Der Faktor ist aber immer derselbe: Verdopplung innerhalb einer Stunde. Das ist typisch für exponentielles Wachstum:
- Das absolute Wachstum des Bestandes wird immer schneller.
- In gleichen Zeitabständen verändert sich der Bestand um den gleichen Faktor. Den Faktor pro Zeiteinheit nennen wir den Wachstumsfaktor.
- Bei exponentiellem Wachstum ist der Wachstumsfaktor größer als 1. Mehr zum Wachstumsfaktor gibt es auf der nächsten Seite.
Exponentieller Zerfall
Ist der Faktor kleiner als 1, wird der Bestand weniger, und wir haben einen exponentiellen Zerfall (z.B. radioaktiver Zerfall, Abkühlung eines heißen Getränks, Medikamentenabbau im Körper, Wertverlust eines Smartphones).
Prozentsatz und Wachstumsfaktor
Oft wird das Wachstum als Prozentsatz angegeben. Beispiel: Ein Kapital wird mit dem Prozentsatz p = 3 % pro Jahr verzinst. Nach einem Jahr hat sich das Kapital um den Faktor
$$a=100\% + 3\% = 103\% = \frac{103}{100} = 1,03$$
vermehrt. Dieser Faktor $a$ heißt der Wachstumsfaktor. Die Rechnung zeigt, dass wir den Wachstumsfaktor $a$ aus dem Prozentsatz $p$ mit folgender Formel berechnen können:
$$a=1+\frac p{100}$$
Bei exponentiellem Zerfall wird der Prozentsatz von 1 subtrahiert, und der Wachstumsfakter ist
$$a=1-\frac{p}{100}$$
Exponentielles Wachstum
Bei exponentiellem Wachstum ändert sich ein Bestand in gleichen Zeitabständen immer um den gleichen Faktor. Dieser Bestand kann sein:
Wir stellen den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum gegenüber:
| Lineares Wachstum | Exponentielles Wachstum |
|---|---|
| In gleichen Zeitabständen ändert sich der Bestand um dieselbe Zahl | In gleichen Zeitabständen ändert sich der Bestand um denselben Faktor. |
| Beispiel: Eine Pflanze wächst pro Woche um 2 cm. | Beispiel: Ein Kapital vermehrt sich pro Jahr um 3 % (des jeweils schon vorhandenen Kapitals). |
Die Wachstumsfunktion
Aus dem Anfangsbestand und dem Wachstumsfaktor wollen wir für jeden beliebigen Zeitpunkt den jeweiligen Bestand berechnen.
Verdopplungszeit
Wachstumsfunktion mit der Verdopplungszeit
Exponentieller Zerfall
Bei exponentiellem Zerfall verringert sich der Bestand pro Zeiteinheit um denselben Faktor. Solche Zerfallsprozesse können sein:
- radioaktiver Zerfall
- Abkühlung eines heißen Getränks
- Medikamentenabbau im Körper
- Wertverlust eines Smartphones
Analog zum Wachstumsfaktor können wir aus dem Prozentsatz $p$ den Zerfallsfaktor $a$ mit der folgenden Formel bestimmen:
$$a=1-\frac p{100}$$
Beispiel: Ein Smartphone verliert pro Jahr etwa 25 % seines Wertes. Der Zerfallsfaktor ist:
$$a=1-\frac{25}{100}=0,75$$
Bei exponentiellem Zerfall ist der Faktor kleiner als 1.