Definitionsbereich einer Funktion

Beispiel: Definitionsbereich einer Funktion

Der Definitionsbereich einer Funktion $f$ ist die Menge aller Zahlen $x$, denen die Funktion einen Funktionswert $f(x)$ zuordnet. Wir wollen eine kleine Funktion $f$ gemäß dem folgenden Diagramm definieren:

Wir lesen folgende Funktionswerte ab:

$$f(1)=3, f(2)=5, f(3)=3, f(4)=7, f(5)=1$$

Die Definitionsmenge ist dann $D=\{1;2;3;4;5\}$ – die Menge aller Zahlen, denen die Funktion einen Wert zuordnet.

Definitionsmenge einer Zuordnungsvorschrift

Üblicherweise wird eine Funktion durch Angabe einer Zuordnungsvorschrift definiert, die vielen Zahlen gleichzeitig einen Funktionswert zuordnet. Betrachten wir die folgende Funktion:

$$f(x)=\sin(x)\cdot e^{2x}$$

Was ist hier der Definitionsbereich? Wenn nicht anders angegeben, vereinbaren wir: Der Definitionsbereich umfasst alle Zahlen, für die der Funktionsterm einen Wert berechnen kann. In diesem Fall ist $D=\mathbb R$, denn für jede reelle Zahl gibt es einen Sinuswert und eine e-Potenz.

Die Definitionsmenge ist also die größtmögliche Menge, die mit diesem Funktionsterm möglich ist. Wie sieht ein Funktionsterm aus, der nicht an jeder Stelle einen Wert berechnen kann? Dazu kommen jetzt einige Beispiele.

Einschränkung: Nullstellen des Nenners

Die wichtigste Einschränkung der Definitionsmenge ist: Man kann nicht durch 0 teilen. Deshalb können Nenner nicht den Wert 0 annehmen. Das wird relevant, wenn die Funktionsvariable $x$ im Nenner vorkommt. Wir betrachten dazu die folgende Funktion:

$$f(x)=\frac{2x}{(x-1)\cdot(x+3)}$$

Was ist $f(1)$? Wir müssten rechnen:

$$f(1)=\frac{2\cdot 1}{(1-1)\cdot(1+3)}=\frac 20$$

Der Ausdruck $\frac 20$ ist nicht definiert. Warum eigentlich nicht? Wir stellen uns vor, es wäre zum Beispiel $\frac 20=7$. Dann müsste umgekehrt auch gelten: $7\cdot 0=2$. Das stimmt natürlich nicht, und dieses Argument gilt auch für jede andere reelle Zahl als 7. Salopp gesagt: Man kann eine Zahl nicht durch 0 teilen, weil es kein Ergebnis gibt, das man mit 0 multiplizieren könnte, so dass diese Zahl wieder rauskommt. Die reellen Zahlen sind nullteilerfrei.

Deshalb werden die Nullstellen aller Nenner aus dem Definitionsbereich ausgenommen. Wir schreiben in unserem Beispiel:

$$D=\mathbb R\setminus\{1;-3\}$$

Den Backslash lesen wir als „ohne“. Mehr zum Thema „Definitionsmenge von Brüchen“ und zum Verhalten der Funktion in der Nähe der Definitionslücken gibt es im Kapitel Gebrochen-rationale Funktionen.

Einschränkung: Quadratwurzeln

Weitere Funktionen, die nicht zu jeder reellen Zahl einen Wert berechnen können, sind Funktionen mit Quadratwurzeln. Der Radikand einer Quadratwurzel (das ist die Zahl unter der Wurzel) darf nicht negativ sein. Warum ist das so? Wir wollen versuchen, einen Wert für $\sqrt{-4}$ festzulegen:

$$\sqrt{-4}=a$$

Dann wäre nach Definition der Wurzel $a^2=-4$. So eine Zahl gibt es aber nicht, da Quadrate niemals negativ sind.

Wir wollen uns anschauen, was das für den Definitionsbereich einer Wurzelfunktion bedeutet und untersuchen folgende Funktion:

$$f(x)=\sqrt{x-5}$$

Um den Definitionsbereich von $f$ zu bestimmen, müssen wir feststellen, für welche $x$ der Term $x-5$ größer oder gleich 0 ist:

$$x-5\ge 0\Longleftrightarrow x\ge 5$$

Der Definitionsbereich von $f$ ist also $D=\mathbb R_{\ge -5} = [-5;\infty[$.

Beispiel: Quadratische Funktion unter der Wurzel

Wir untersuchen die Funktion $f(x)=\sqrt{-x^2+9}$. Der Ansatz „Radikand größer oder gleich 0“ führt auf eine Ungleichung, die wir wie folgt bearbeiten können:

$$-x^2+9\ge 0\Longleftrightarrow x^2\le 9\Longleftrightarrow |x|\le 3$$

Dies ist erfüllt, wenn $x\ge -3$ und $x\le 3$ ist, und das liefert den Definitionsbereich von $f$:

$$D=[-3;3]$$

Wir können dies auch analytisch durch Untersuchung der Parabel im Radikand bestimmen:

• Wir bestimmen die Nullstellen der Parabel, diese sind $x_1=3$ und $x_2=-3$.
• Die Parabel ist nach unten geöffnet und nach oben verschoben, also verläuft die Parabel zwischen den Nullstellen oberhalb der $x$-Achse.

Das Zusammenspiel von Verschiebung und Öffnung der Parabel liefert 4 verschiedene Möglichkeiten, was passieren kann. Der Definitionsbereich der Wurzelfunktion ist jeweils rot markiert:

Man könne das noch beliebig komplizierter machen durch Verkettung von Brüchen, Wurzeln und sonstigen Funktionen, aber lieber fassen wir nochmal das Wesentliche in Kurzform zusammen:

Einschränkung: Logarithmen

Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrung einer Exponentialfunktion. Wer Logarithmen verstehen will, schaut sich also am besten zunächst eine Exponentialfunktion an:

$$f(x)=a^x$$

Diese ist nur für eine positive Basis $a>0$ sinnvoll definierbar. Wäre $a$ negativ, wäre ein Ausdruck wie $a^{\frac 12}=\sqrt a$ nicht berechenbar. Exponentialfunktionen sollen aber beliebige Exponenten $x\in\mathbb R$ aufnehmen, deshalb funktionieren sie nur mit einer positiven Basis $a$. Wir fassen zusammen:

Das übertragen wir jetzt auf Logarithmusfunktionen. Unter den Bedingungen des Kastens gilt:

$$a^x=y\Longleftrightarrow x=\log_a y$$

Einschränkung: Tangensfunktion

Zum Abschluss noch ein Fall, der eher nicht so oft vorkommt. Die Funktion

$$f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

hat eine Definitionsmenge, die man sich aus dem bisher gesagten schon herleiten kann, denn Nenner dürfen nicht 0 werden. Die Nullstellen der Kosinusfunktion sind also Definitionslücken des Tangens.

Die Kosinusfunktion hat eine Nullstelle bei $\frac\pi 2$, die sich im Abstand von $\pi$ immer wiederholt. Also hat die Tangensfunktion folgende Definitionsmenge:

$$D=\mathbb R\setminus\left\{\frac\pi 2+k\cdot\pi\ |\ k\in\mathbb Z\right\}$$

Übungsaufgaben

Bestimme die Definitionsmenge der folgenden Funktionen:

1. $f(x)=x^2\cdot e^{-x}$