Bekanntlich können wir mit der pq-Formel eine quadratische Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ lösen. Wir betrachten als Beispiel die Gleichung $x^2-6x+5=0$ und lesen ab: $p=-6$ und $q=5$. Die meisten Schüler greifen nun zum Taschenrechner und tippen für die erste Lösung $x_1$ ein:
$$-\frac{-6}2+\sqrt{\left(\frac{-6}2\right)^2-5}$$
Das wimmelt nur so von Brüchen, Klammern, Wurzeln und Quadraten – das kann man doch nicht ohne Taschenrechner rechnen!? Doch – und zwar viel schneller, als du tippen kannst. Und am Ende lösen wir mit dieser Methode sogar eine fortgeschrittene Parameteraufgabe.
Inhaltsverzeichnis
Im Kopf mitrechnen
Der Trick ist: Wir rechnen beim Aufschreiben ein bißchen im Kopf mit und schreiben direkt:
$\displaystyle x_1=3+\sqrt{9-5}=3+\sqrt 4=3+2=5$
Zur Erklärung:
- Warum schreibe ich nicht $x_{1,2}=\ldots$? Ich rechne direkt $x_1$ aus und spare einen Schritt. Und die Zwischenergebnisse kann ich für $x_2$ wiederverwenden.
- Es ist $-\frac{-6}2=3$. Das rechne ich vor dem Hinschreiben im Kopf aus und schreibe direkt 3 hin. $p=-6$ wird halbiert und das Vorzeichen geändert.
- Der Term $\left(\frac p2\right)^2$ unter der Wurzel ist das Quadrat dieser 3, also 9.
- Für $x_2$ wird es dann ganz einfach, da wir alle Zwischenergebnisse schon kennen und direkt im letzten Schritt einsteigen können.
Also lautet der vollständige Rechenweg:
$\displaystyle x_1=3+\sqrt{9-5}=3+\sqrt 4=3+2=5$
$\displaystyle x_2=3-2=1$
Wenn man das ein paar Mal gemacht hat, kann kein Taschenrechner mehr mithalten.
Ein Beispiel in Kurzform
Das machen wir gleich nochmal und schreiben jetzt nur noch das Nötigste auf. Für die Gleichung $x^2+14x+33=0$ mit $p=14$ und $q=33$ rechnen wir:
$\displaystyle x_1=-7+\sqrt{49-33}=-7+4=-3$
$\displaystyle x_2=-7-4=-11$
Wenn p ungerade ist
Eine kleine Herausforderung kommt hinzu, wenn $p$ ungerade, also nicht durch 2 teilbar ist. Das geht aber auch sehr gut, wenn wir mit Brüchen arbeiten. Wir betrachten die Gleichung $x^2+5x+6=0$ mit $p=5$ und $q=6$. Dann machen wir folgende Zwischenrechnungen im Kopf:
- $\displaystyle -\frac p2=-\frac 52$ (Keine Kommazahl schreiben, die lassen sich nicht schön quadrieren.)
- $\displaystyle\left(\frac p2\right)^2=\frac{25}4$ (Zähler und Nenner werden einzeln quadriert.)
- $q=6$ wollen wir mit diesem Bruch zusammenfassen, deshalb erweitern wir $6$ schon beim Hinschreiben auf $\frac{24}4$.
Wir schreiben also:
$\displaystyle x_1=-\frac 52+\sqrt{\frac{25}4-\frac{24}4}$
$\displaystyle x_1=-\frac 52+\sqrt{\frac 14}$
$\displaystyle x_1=-\frac 52+\frac 12=-\frac 42=-2$
Es lohnt sich, jeden einzelnen Schritt in dieser Rechnung gut nachzurechnen und zu verstehen! Auch die Wurzel im letzten Schritt wird für Zähler und Nenner einzeln berechnet, deshalb ist die Rechnung einfacher als sie aussieht. Die zweite Lösung ist:
$\displaystyle x_2=-\frac 52-\frac 12=-\frac 62=-3$
Noch ein Beispiel mit ungeradem p
Wir betrachten die Gleichung $x^2-x-20=0$. Wir lesen ab: $p=-1$ und $q=-20$ und rechnen:
$\displaystyle x_1=\frac 12+\sqrt{\frac 14+\frac {80}4}=\frac 12+\frac 92=5$
$\displaystyle x_2=\frac 12-\frac 92=-4$
Rechne wieder alles gut nach, damit du es auch selbst anwenden kannst.
Brüche in der Gleichung
Diese Methode funktioniert auch, wenn schon $p$ oder $q$ ein Bruch ist. Das passiert oft, wenn man eine Ausgangsgleichung mit Faktor vor dem $x^2$ hat:
$\displaystyle 2x^2-9x+10=0$
Dann teilen wir die Gleichung zunächst durch 2 und erhalten:
$\displaystyle x^2-\frac 92x+5=0$
Wenn wir jetzt $-\frac p2$ berechnen und es ungeschickt tun, erhalten wir einen Doppelbruch:
$\displaystyle -\frac{-\frac 92}2=??$
Das will keiner! Deshalb erinnern wir uns daran, was dividieren heißt: mit dem Kehrwert multiplizieren.
$\displaystyle -\frac{-\frac 92}2=-\frac 92\cdot\frac 12=-\frac 94$
Man kann also einen Bruch durch 2 teilen, indem man den Nenner mal 2 nimmt. Aus $-\frac 92$ wird in der Lösung $\frac 94$. Und das zum Quadrat ergibt $\frac{81}{16}$:
$\displaystyle x_1=\frac 94+\sqrt{\frac{81}{16}-\frac{80}{16}}$
$\displaystyle x_1=\frac 94+\frac 14=\frac{10}4=\frac 52$
Hast du gesehen, dass wir $q=5$ in der Rechnung auf $\frac{80}{16}$ erweitert haben, damit wir die Summanden unter der Wurzel zusammenfassen können? Für die zweite Lösung erhalten wir:
$\displaystyle x_2=\frac 94-\frac 14=2$
Noch ein Beispiel mit Brüchen
Wir geben noch ein Beispiel mit Brüchen, bei dem wir es wieder so aufschreiben, wie du es in der Schule machen könntest. Spoiler: Du solltest hier ein paar Quadratzahlen kennen wie $12^2=144$ und $15^2=225$. Hier kommt die Gleichung:
$\displaystyle 4x^2+9x-9=0$
Damit wir die pq-Formel anwenden können, teilen wir alles durch 4 und erhalten:
$\displaystyle x^2+\frac 94x-\frac 94=0$
Mit $p=\frac 94$ und $q=-\frac 94$ können wir rechnen:
$\displaystyle x_1=-\frac 9x+\sqrt{\frac{81}{64}+\frac{144}{64}}$
$\displaystyle x_1=-\frac 98+\sqrt{\frac{225}{64}}$
$\displaystyle x_1=-\frac 98+\frac{15}8=\frac 68=\frac 34$
$\displaystyle x_2=-\frac 98-\frac{15}8=-\frac{24}8=-3$
Wenn du nun sagst, das wird dir „too much“ fürs Kopfrechnen, dann hast du jetzt aber trotzdem genug Übung, um dir das erste Beispiel oben nochmal anzusehen und dich zu erinnern: Viele quadratische Gleichungen kannst du mit dieser Methode super schnell lösen – ohne Taschenrechner und ohne dir beim Schreiben die Finger zu verkrampfen. Einfach weil du im Kopf ein bißchen mitrechnest.
Anwendung: Quadratische Gleichung mit Parameter
Als Schmankerl zum Abschluss wollen wir diese Methode bei einer Aufgabe anwenden, die der Taschenrechner ohnehin nicht lösen kann: Wir rechnen eine quadratische Gleichung mit Parameter. Ein Parameter $k\in\mathbb R$ ist eine fest gewählte unbekannte Zahl, die in der Gleichung vorkommt. Die Lösungen der Gleichung hängen dann von diesem Parameter ab – und auch wie viele Lösungen es überhaupt gibt. Hier kommt die Aufgabe:
Für welche Werte von $k$ hat die Gleichung $x^2+kx+4k=0$ genau eine Lösung?
Die Aufgabenstellung ist zwar etwas anders als vorher, aber es geht um die Lösungen der Gleichung, also lesen wir $p=k$ und $q=4k$ ab und lösen die Gleichung mit der pq-Formel und unserer „Kopfrechen-Methode“:
$\displaystyle x_1=-\frac k2+\sqrt{\frac{k^2}4-\frac{16k}4}=-\frac k2+\sqrt{\frac{k^2-16k}4}=-\frac k2+\frac 12\sqrt{k^2-16k}$
$\displaystyle x_2=-\frac k2-\frac 12\sqrt{k^2-16k}$
Lies bitte erst weiter, wenn du diese Zeile Schritt für Schritt nachvollzogen hast. Im letzten Schritt haben wir teilweise die Wurzel gezogen, aber das spielt keine große Rolle.
Nun zur Anzahl der Lösungen: Die Gleichung hat nur eine Lösung, wenn $x_1$ und $x_2$ gleich sind. Das geht nur, wenn der Wurzelterm 0 ergibt. Dann ist die einzige Lösung nämlich $-\frac k2$.
Aber wann ergibt der Wurzelterm 0? Wann gilt also $k^2-16k=0$? Das ist eine neue Gleichung, die von $k$ abhängt und die wir mit der Lösungsvariable $k$ lösen können:
$\displaystyle k^2-16k=0$ ($k$ ausklammern)
$\displaystyle k\cdot(k-16)=0$ (Satz vom Nullprodukt anwenden)
$k=0$ oder $k-16=0$
$k=0$ oder $k=16$
Wir haben nun folgendes herausgefunden: Wenn $k=0$ oder $k=16$ ist, dann ist $\sqrt{k^2-16k}=0$, und dann sind die Lösungen $x_1$ und $x_2$ der Gleichung $x^2+kx+4k$ gleich, also hat die Gleichung dann nur eine Lösung. In Kurzform:
Wenn $k=0$ oder $k=16$ ist, dann hat die Gleichung $x^2+kx+4k=0$ nur eine Lösung.
Tipp zum Abschluss: Langsam lesen
Wenn dir am Ende einiges zu schnell war und du den Anschluss verloren hast, denke immer daran: Du bestimmst das Tempo beim Lesen, und du kannst Sätze noch einmal lesen, wenn du sie noch nicht verstanden hast. Das ist der große Vorteil gegenüber Mathe-Videos. In Videos kannst du zwar auch zurückspringen, aber man weiß nicht, wo man genau landet. Da finde ich Texte entspannter.
In jeder neuen Aufgabe kommt ein kleiner Aspekt hinzu. Es sind immer nur kleine Schritte, die man aber trotzdem gut nachvollziehen muss, sonst sind auch die kleinen Schritte irgendwann zu viel. Wenn du aber am Ball bleibst, wirst du am Ende damit belohnt, auch komplexere Aufgaben lösen zu können, weil du deine eingeübten Methoden darin erkennst.