Löse die folgenden Gleichungen durch eine geeignete Substitution.
1.
Allgemein
Der Satz von Vieta
Gegeben ist die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ mit den Lösungen $x_1$ und $x_2$. Gegeben sind jeweils zwei dieser Werten. Bestimme die übrigen mit dem Satz von Vieta.
Vermischte quadratische Gleichungen
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen mit einem geeigneten Verfahren:
1.
Der Satz vom Nullprodukt
Löse die folgenden Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt:
Vorübungen zur quadratischen Ergänzung
Wenn die Variable $x$ nur im Quadrat steckt wie in der Gleichung $(x+3)^2-4=0$, dann kannst du sie schnell lösen. Das haben die vorigen Aufgaben gezeigt. Was aber, wenn wir eine ausmultiplizierte Gleichung wie $x^2+6x+5=0$ haben? Dafür gibt es einen Trick namens „quadratische Ergänzung“, der das Ausmultiplizieren rückgängig macht. Das Hilfsmittel dafür sind die binomischen Formeln.
Mit den folgenden Aufgaben kannst du dieses Verfahren schrittweise üben. Fülle mit HIlfe der binomischen Formeln die Lücken in den Gleichungen:
- $(a+b)^2=$
- $(x+3)^2=$
- $(x-7)^2=$
- $(x+\ldots)^2=x^2+8x+16$
- $(x-\ldots)^2=x^2-10x+\ldots$
- $x^2-10x+25=(x-\ldots)^2$
- $x^2+20x+100=(x+\ldots)^2$
- $x^2+14x+\ldots=(x+\ldots)^2$
- $x^2-2x+\ldots=(x-\ldots)^2$
Gleichungen lösen mit quadratischer Ergänzung
Löse die folgenden Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
- $x^2-6x+9=4$
- $x^2+10x+25-9=0$
- $x^2-4x+5=0$
- $x^2+8x=9$
- $x^2-x-\frac 34=0$