Inhaltsverzeichnis
Änderungsverhalten von Geraden
Schon in der Mittelstufe haben wir das Änderungsverhalten von Funktionen untersucht: nämlich als wir die Steigung linearer Funktionen bestimmt haben. Im abgebildeten Diagramm können wir mit einem Steigungsdreieck die Steigung $m$ der linearen Funktion bestimmen:
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac 12$$
Die Steigung der Geraden sagt aus: Wann immer sich $x$ um 1 vergrößert, ändert sich $y$ um $\frac 12$. Die Gerade steigt also gleichmäßig an, egal welche Stelle wir untersuchen.
Wenn wir zwei Punkte $A(x_1/y_1)$ und $B(x_2/y_2)$ einer Geraden kennen, können wir ihre Steigung mit folgender Formel bestimmen:
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Solch einen Term nennen wir einen Differenzenquotient – eben einen Quotient von Differenzen.
Beispiel: Die Gerade durch die beiden Punkte $A(3/-2)$ und $B(-1/4)$ hat die Steigung
$$m=\frac{-1-3}{4-(-2)}=-\frac 23$$
Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
Wir wollen nun auch das Änderungsverhalten anderer Funktionen untersuchen. Als Beispiel nehmen wir die quadratische Funktion
$$f(x)=\frac 12x^2$$
und die Punkte $A(2/2)$ und $B(4/8)$, die beide Punkte des Graphen von $f$ sind. (Als kleine Aufwärmübung rechne dies doch kurz nach!) Wenn wir mit diesen Punkten den Differenzenquotient berechnen, erhalten wir:
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{8-2}{4-2}=3$$
Aber was haben wir da eigentlich berechnet? Die Abbildung zeigt es: $m$ ist die Steigung einer Geraden durch $A$ und $B$. Diese Gerade schneidet den Graphen von $f$ in den Punkten $A$ und $B$. Solch eine Gerade heißt eine Sekante – wir haben also eine Sekantensteigung berechnet.