Die binomischen Formeln

Die binomischen Formeln waren mir in meiner Laufbahn als Nachhilfelehrer schon immer ein Rätsel. Nicht weil ich sie nicht verstehe – das tue ich sogar ziemlich gut. Aber sehr viele Schüler haben Angst vor ihnen, können sie sich nicht merken und können sie auch nicht sicher anwenden, selbst wenn sie vor ihnen aufgeschrieben sind. Das mit der Angst resultiert wohl aus den beiden anderen Punkten. Und den dritten Punkt könnte man mit der Musik vergleichen: Selbst wenn ich die Noten eines Stückes von Billy Joel vor mir hätte, hieße das nicht automatisch, dass ich es auch auf dem Klavier spielen kann. Was bräuchte ich, um Billy Joel auf dem Klavier spielen zu können? Richtig viel Übung! Was ich dir heute aber sagen will: Die binomischen Formeln sind nicht der Root Bear Rag, den du und ich wahrscheinlich niemals fehlerfrei spielen werden, sondern eher „Morgen kommt der Weihnachtsmann“. Eine halbe Stunde dransetzen, dann hast du das wesentliche verstanden und kannst es anwenden. Und diese halbe Stunde beginnt genau jetzt! Was ist ein Binom? In dem Wort „Binom“ steckt „bi“ drin, das heißt „zwei“. Hier ist einfach die Summe aus zwei Summanden gemeint. Das alles sind Binome: a + b x + y Und wenn da mal ein Minuszeichen drin ist, dann ist es trotzdem ein Binom, denn Subtraktion ist ja einfach nur Addition der Gegenzahl: Binome multiplizieren Wenn man zwei Binome miteinander malnehmen will, nennt man das im Tagesgeschäft „ausmultiplizieren“: Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summand der zweiten malgenommen: Übung: Die Sache mit den Vorzeichen Rechne das obige Beispiel nach und prüfe, wo + und – hinkommt: Jedes Vorzeichen wird im ersten Schritt erstmal mitgenommen. Beim Zusammenfassen wird dann gerechnet: „+ mal +“ und „- mal -“ ergibt „+“ „+ mal -“ und „- mal +“ ergibt „-„. Ein Binom mit sich selbst malnehmen Hier kommt noch eine etwas übersichtlichere Aufgabe – ein Binom, das mit sich selbst malgenommen wird: Dieser Fall eines Binoms, das mit sich selbst multpliziert (also quadriert) wird, wird so dermaßen oft benötigt, dass die Formel einen eigenen Namen bekommen hat: Die erste binomische Formel Sie gibt an, wie man das Quadrat eines Binoms berechnet. (Wenn du jetzt schon vergessen hast, was ein Binom ist , lies nochmal weiter oben.) Und hier kommt die Formel, die wir eben schon bewiesen haben: Das Binom in der Klammer kann übrigens ziemlich vielfältig aussehen. Da musst du dich ein bißchen von den Buchstaben a und b lösen und sie als Platzhalter für alles Mögliche sehen. Bei uns im Leistungskurs Mathe 1992 hieß es damals: Gerade das „2klimbim“ in der Mitte ist fehleranfällig, wobei viele Fehler wohl mit dem Vergessen der „2“ zu tun haben. Deshalb kommen jetzt Beispiele zur ersten binomischen Formel, und ich lade dich ein, sie alle für dich nachzurechnen. Aber bitte erst selber rechnen und dann mit dem richtigen Ergebnis vergleichen. Denn wenn du dir nur anschaust, was ich gerechnet habe, wirst du niemals erfahren, was du alles falsch gemacht hättest. Also: Mach deine eigenen Fehler und lerne daraus! Beispiele zur ersten binomischen Formel Denke dir weitere Aufgaben zur ersten binomischen Formel aus und rechne sie! Die zweite binomische Formel: Subtraktion Nun betrachten wir das Binom und berechnen sein Quadrat: Hier ist es wichtig, dass du dir die Vorzeichenfolge „plus, minus, plus“ merkst. Nun die Beispiele:

Lösungsweg

Die binomischen Formeln waren mir in meiner Laufbahn als Nachhilfelehrer schon immer ein Rätsel. Nicht weil ich sie nicht verstehe – das tue ich sogar ziemlich gut. Aber sehr viele Schüler

  1. haben Angst vor ihnen,
  2. können sie sich nicht merken
  3. und können sie auch nicht sicher anwenden, selbst wenn sie vor ihnen aufgeschrieben sind.

Das mit der Angst resultiert wohl aus den beiden anderen Punkten. Und den dritten Punkt könnte man mit der Musik vergleichen: Selbst wenn ich die Noten eines Stückes von Billy Joel vor mir hätte, hieße das nicht automatisch, dass ich es auch auf dem Klavier spielen kann.

Was bräuchte ich, um Billy Joel auf dem Klavier spielen zu können? Richtig viel Übung! Was ich dir heute aber sagen will: Die binomischen Formeln sind nicht der Root Bear Rag, den du und ich wahrscheinlich niemals fehlerfrei spielen werden, sondern eher „Morgen kommt der Weihnachtsmann“. Eine halbe Stunde dransetzen, dann hast du das wesentliche verstanden und kannst es anwenden.

Und diese halbe Stunde beginnt genau jetzt!

Was ist ein Binom?

In dem Wort „Binom“ steckt „bi“ drin, das heißt „zwei“. Hier ist einfach die Summe aus zwei Summanden gemeint. Das alles sind Binome:

  • a + b
  • x + y
  • 3a^2-2ab

Und wenn da mal ein Minuszeichen drin ist, dann ist es trotzdem ein Binom, denn Subtraktion ist ja einfach nur Addition der Gegenzahl:

3a^2-2ab=3a^2+(-2ab)

Binome multiplizieren

Wenn man zwei Binome miteinander malnehmen will, nennt man das im Tagesgeschäft „ausmultiplizieren“: Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summand der zweiten malgenommen:

\begin{array}{rcl}(a-2b)\cdot(-3a+5ab) & =&a\cdot(-3a)+a\cdot 5ab-2b\cdot(-3a)-2b\cdot 5ab\\&=&-3a^2+5a^2b+6ab-10ab^2\end{array}

Übung: Die Sache mit den Vorzeichen

Rechne das obige Beispiel nach und prüfe, wo + und – hinkommt: Jedes Vorzeichen wird im ersten Schritt erstmal mitgenommen. Beim Zusammenfassen wird dann gerechnet:

  • „+ mal +“ und „- mal -“ ergibt „+“
  • „+ mal -“ und „- mal +“ ergibt „-„.

Ein Binom mit sich selbst malnehmen

Hier kommt noch eine etwas übersichtlichere Aufgabe – ein Binom, das mit sich selbst malgenommen wird:

\begin{array}{rcl}(a+b)\cdot(a+b)&=&a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b\\&=&a^2+ab+ab+b^2\\&=&a^2+2ab+b^2\end{array}

Dieser Fall eines Binoms, das mit sich selbst multpliziert (also quadriert) wird, wird so dermaßen oft benötigt, dass die Formel einen eigenen Namen bekommen hat:

Die erste binomische Formel

Sie gibt an, wie man das Quadrat eines Binoms berechnet. (Wenn du jetzt schon vergessen hast, was ein Binom ist , lies nochmal weiter oben.) Und hier kommt die Formel, die wir eben schon bewiesen haben:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Das Binom in der Klammer kann übrigens ziemlich vielfältig aussehen. Da musst du dich ein bißchen von den Buchstaben a und b lösen und sie als Platzhalter für alles Mögliche sehen. Bei uns im Leistungskurs Mathe 1992 hieß es damals:

\left(\text{klim}+\text{bim}\right)^2=\text{klim}^2+2\text{klimbim}+\text{bim}^2

Gerade das „2klimbim“ in der Mitte ist fehleranfällig, wobei viele Fehler wohl mit dem Vergessen der „2“ zu tun haben. Deshalb kommen jetzt Beispiele zur ersten binomischen Formel, und ich lade dich ein, sie alle für dich nachzurechnen. Aber bitte erst selber rechnen und dann mit dem richtigen Ergebnis vergleichen. Denn wenn du dir nur anschaust, was ich gerechnet habe, wirst du niemals erfahren, was du alles falsch gemacht hättest. Also: Mach deine eigenen Fehler und lerne daraus!

Beispiele zur ersten binomischen Formel

  1. (u+v)^2=u^2+2uv+v^2
  2. (x+4)^2=x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2=x^2+8x+16
  3. (2a+3b)^2=(2a)^2+2\cdot 2a\cdot 3b+(3b)^2=4a^2+12ab+9b^2
  4. (x+xy)^2=x^2+2x(xy)+(xy)^2=x^2+2x^2y+x^2y^2
  5. (x^2+y^2)^2=x^4+2x^2y^2+y^4

Denke dir weitere Aufgaben zur ersten binomischen Formel aus und rechne sie!

Die zweite binomische Formel: Subtraktion

Nun betrachten wir das Binom a-b und berechnen sein Quadrat:

\begin{array}{rcl}(a-b)\cdot(a-b)&=&a\cdot a+a\cdot(-b)-b\cdot a+b\cdot b\\&=&a^2-ab-ab+b^2\\&=&a^2-2ab+b^2\end{array}

Hier ist es wichtig, dass du dir die Vorzeichenfolge „plus, minus, plus“ merkst. Nun die Beispiele:

  • (x-3)^2=x^2-6x+9
  • (1-3a)^2=1-6a+9a^2

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