Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:
- $x^2=9$
- $3x^2=-6$
- $-5x^2=0$
- $(x-3)^2=25$
- $3(x+2)^2-6=21$
- $-\frac 23(x-5)^2+7=3$
Lösungsweg
All diese Gleichungen lassen sich durch Termumformungen zu einer reinquadratische Gleichung der Form $x^2=\ldots$ vereinfachen. Die pq-Formel wird nicht benötigt. Es fängt in der ersten Aufgabe $x^2=9$ ganz klein mit Wurzelziehen an, und in jeder weiteren Aufgabe kommt ein neuer Schritt hinzu. Und wie das geht, zeigen wir jetzt.
Aufgabe 1
$x^2=9$
Lösung
Gesucht ist eine Zahl $x$, deren Quadrat 9 ergibt. $\sqrt 9$ ist eine Zahl, deren Quadrat 9 ergibt. Also ist $\sqrt 9=3$ eine Lösung der Gleichung. Aber es ist auch $(-3)^2=9$, also ist auch -3 eine Lösung der Gleichung. Wir können die Gleichung also wie folgt lösen:
$$\begin{array}{rl}&x^2=9\\
\Longleftrightarrow&x=3\text{ oder }x=-3\end{array}$$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $L=\{3;-3\}$.
Aufgabe 2
$3x^2=-6$
Lösung
$-5x^2=0$
$(x-3)^2=25$
$3(x+2)^2-6=21$
$-\frac 23(x-5)^2+7=3$