Volumen eines Tetraeders

Gegeben ist ein Tetraeder mit der Kantenlänge a. Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras das Volumen und die Oberfläche des Tetraeders.

Lösungsweg

Hier findest du eine Reihe von Übungsaufgaben, die dich zur Berechnung des Volumens eines Tetraeders hinführen. Dabei werden viele Themen der Analytischen Geometrie gestreift: Aufstellen von Geradengleichungen und Ebenengleichungen, Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene, Winkelberechnungen und noch einiges mehr.

  1. Zunächst die wichtige Frage: Was ist eigentlich ein Tetraeder?
  2. Gegeben ist ein Tetraeder mit der Kantenlänge a. Berechne Volumen und Oberfläche des Tetraeders ohne Vektorrechnung mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Du kannst allgemein mit der Höhe a rechnen oder mit dem Wert a=9\sqrt 2.
  3. Gegeben sind nun die Punkte A( -5 / -4 / 3 ), B( 7 / -1 / 6 ), C( 4 / -4 / -6) und D( 0 / 7 / -1). Zeichne diese Punkte und ihre Ortsvektoren in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
  4. Zeige, dass die Punkte A,B,C nicht auf einer Geraden liegen. Benutze dazu das Stichwort „kollineare Vektoren“.
  5. Zeige, dass die Punkte A,B,C,D nicht auf einer Ebene liegen. Benutze dazu das Stichwort „komplanare Vektoren“.
  6. Zeige, dass alle Punkte A,B,C,D den gleichen Abstand zueinander haben und es sich damit bei diesem Körper um einen Tetraeder handelt.
  7. Berechne den Abstand des Punktes C von der Gerade g durch A und B und damit die Höhe des Dreiecks ABC.
  8. Bestimme mit diesen Ergebnissen den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
  9. Stelle eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und Normalenform auf, die die Punkte A,B,C enthält.
  10. Berechne den Abstand des Punktes D von der Ebene E und damit die Raumhöhe des Tetraeders.
  11. Berechne das Volumen des Tetraeders und vergleiche mit den Ergebnissen aus Nr. 2.
  12. Wie kann man dieses Volumen mit Hilfe des Spatproduktes berechnen?
  13. Berechne den Winkel, den eine Seitenkante mit der Grundfläche einschließt.
  14. Berechne den Winkel, den zwei Seitenflächen miteinander einschließen.

Lösung:

Alles trivial!

Schreibe einen Kommentar