Hier findest du eine Reihe von Übungsaufgaben, die dich zur Berechnung des Volumens eines Tetraeders hinführen. Dabei werden viele Themen der Analytischen Geometrie gestreift: Aufstellen von Geradengleichungen und Ebenengleichungen, Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene, Winkelberechnungen und noch einiges mehr.
- Zunächst die wichtige Frage: Was ist eigentlich ein Tetraeder?
- Gegeben ist ein Tetraeder mit der Kantenlänge a. Berechne Volumen und Oberfläche des Tetraeders ohne Vektorrechnung mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Du kannst allgemein mit der Höhe a rechnen oder mit dem Wert \[a=9\sqrt 2\].
- Gegeben sind nun die Punkte A( -5 / -4 / 3 ), B( 7 / -1 / 6 ), C( 4 / -4 / -6) und D( 0 / 7 / -1). Zeichne diese Punkte und ihre Ortsvektoren in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
- Zeige, dass die Punkte A,B,C nicht auf einer Geraden liegen. Benutze dazu das Stichwort „kollineare Vektoren“.
- Zeige, dass die Punkte A,B,C,D nicht auf einer Ebene liegen. Benutze dazu das Stichwort „komplanare Vektoren“.
- Zeige, dass alle Punkte A,B,C,D den gleichen Abstand zueinander haben und es sich damit bei diesem Körper um einen Tetraeder handelt.
- Berechne den Abstand des Punktes C von der Gerade g durch A und B und damit die Höhe des Dreiecks ABC.
- Bestimme mit diesen Ergebnissen den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
- Stelle eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und Normalenform auf, die die Punkte A,B,C enthält.
- Berechne den Abstand des Punktes D von der Ebene E und damit die Raumhöhe des Tetraeders.
- Berechne das Volumen des Tetraeders und vergleiche mit den Ergebnissen aus Nr. 2.
- Wie kann man dieses Volumen mit Hilfe des Spatproduktes berechnen?
- Berechne den Winkel, den eine Seitenkante mit der Grundfläche einschließt.
- Berechne den Winkel, den zwei Seitenflächen miteinander einschließen.
Lösung:
Alles trivial!