Übungsaufgaben zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Hier findest du eine ganze Reihe von Stochastik-Aufgaben zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Es geht vor allem um elementare Wahrscheinlichkeiten, die mit Laplace-Experimenten, Baumdiagrammen , Vierfeldertafeln oder bedingten Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden können. Wahrscheinlichkeitsverteilungen spielen hier noch keine Rolle.

  1. Herr Späth isst jeden Tag in der Werkskantine zu Mittag. Am liebsten isst er dann das Stammessen, das in 95% aller Fälle auch noch verfügbar ist. In 2% aller Fälle bekommt er gar kein Essen mehr. Es wird nun eine Woche mit 5 Werktagen betrachtet. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    1. Herr Späth bekommt jeden Tag ein Essen.
    2. Er bekommt jeden Tag ein Essen, aber nicht einmal das Stammessen.
    3. Er bekommt jeden Tag ein Essen, aber genau an einem Tag nicht das Stammessen.
    4. Er bekommt an zwei Tagen kein Essen und an zwei anderen Tagen kein Stammessen.
  1. In einer Fabrik wird Porzellan hergestellt. Die hergestellten Teile werden dabei auf Form, Farbe und Oberflächenbeschaffenheit geprüft. Erfahrungsgemäß muss bei 25% die Form beanstandet werden. Die Farbkontrolle passieren 85% der Teile ohne Beanstandung. In 20% der Fälle genügt die Oberfläche nicht den Anforderungen der 1.Wahl. Nur wenn alle drei Kontrollen fehlerfrei sind, gilt ein Teil als 1.Wahl. Das Produkt gilt als zweite Wahl, wenn die Qualität nur an einer Kontrollstelle nicht ausreicht. Alle übrigen Teile gelten als Ausschuss.
    1. Stelle diese Kontrollen in einem Baumdiagramm dar.
    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Teil 1.Wahl / 2.Wahl / Ausschuss?
  2. Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Zeichne das Baumdiagramm und
    bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    1. A: Mehr als zweimal Wappen
    2. B: Mindestens zweimal Wappen
    3. C: Es erscheint nicht zweimal hintereinander das gleiche Ergebnis.
    4. D: Es kommen sowohl Wappen als auch Zahl vor.
  3. An einem Schlüsselbund befinden sich 6 Schlüssel. Du kommst nachts nach Hause und suchst deinen Haustürschlüssel. Dabei probierst du blind die Schlüssel der Reihe nach durch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du den richtigen Schlüssel beim ersten (dritten, vierten) Mal findest?
  4. In einer Schulklasse sind 13 Jungen und 7 Mädchen. Zur Vorbereitung der Studienfahrt wird ein Dreierausschuss ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit…
    1. …wird die Kurssprecherin in den Ausschuss gewählt?
    2. …besteht der Ausschuss nur aus Mädchen?
    3. …enthält der Ausschuss genau einen Jungen, wenn vorher festgelegt wurde, dass die Kurssprecherin auf jeden Fall dem Ausschuss angehören soll?
  5. Bei einem Spielautomaten gibt es drei gleichartige Räder mit den Ziffern 0-9. Bei einem Spiel drehen sich die Räder, bleiben zufällig stehen und bilden dann eine dreistellige Zahl. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    1. A: Es erscheint die Zahl 353.
    2. B: Dine Zahl kleiner als 50.
    3. C: Die Zahl enthält genau zwei Einsen.
    4. D: Die Zahl enthält keine 0.
    5. E: Die Augensumme ist 10.
  6. In einer Obstkiste befinden sich 10 rote und 20 gelbe Tomaten gleicher Größe und Form. Du ziehst daraus blind nacheinander drei Tomaten. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    1. Genau zwei Tomaten sind gelb.
    2. Mindestens zwei Tomaten sind gelb.
    3. Die zweite Tomate ist gelb.
    4. Beim ersten Mal wurde eine rote Tomate gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit folgen danach zwei gelbe?
  7. Eine Schule wird von 500 Schülern besucht, von denen 300 männlich sind. 435 Schüler sind rechtshändig, von diesen sind 261 männlich. Hängt die Links- /Rechtshändigkeit vom Geschlecht ab?
  8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl zwischen 1 und 100 durch 5 teilbar ist, wenn man weiß, dass sie durch 3 teilbar ist?
  9. Ein Skatspieler nimmt aus einem Kartenspiel mit 32 Karten 10 Karten auf. Wir betrachten folgende Ereignisse:
    • A: Er hat alle vier Asse.
    • B: Er hat alle vier Buben.
    • C: Er hat den Kreuz-Buben.
    Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten: P(A), P(C), PA(C),PB (C), PC(A), PB(A)
  10. In einer Lieferung von 20 Batterien sind 5 ungeladen. Es sei A:„Die erste Batterie ist geladen“ und B:„Die zweite Batterie ist geladen.“ Bestimme P(A), PA (B) und P(B).
  11. Eine idealer Würfel wird dreimal geworfen. Man erhält einen Gewinn, wenn bei den drei Würfen genau eine 6 ist. Durch welche Ereignisse verbessert sich die Chance auf diesen Gewinn?
    1. A: Im ersten Wurf fällt eine 6.
    2. B: Im ersten Wurf fällt keine 6.
  12. In einem Restaurant essen 60% der Gäste keine Nachspeise und 50% der Gäste keine Vorspeise. 30% essen weder Vor- noch Nachspeise. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast, der keine Nachspeise bestellt, auch keine Vorspeise hatte?
  13. Zur Untersuchung der Nebenwirkung eines in der Entwicklung befindlichen Schmerzmittels wurden bei 500 Patienten die auftretenden Nebenwirkungen dokumentiert. 50 Patienten wurde es übel, 60 Patienten litten an Kopfschmerzen. 15 Patienten gaben an, sich erbrochen zu haben. Von den 500 Patienten berichteten 6 sowohl von Kopfschmerzen als auch von Übelkeit.
    1. Untersuche, ob Übelkeit und Erbrechen unabhängig voneinander auftraten.
    2. Untersuche, ob Übelkeit und Kopfweh unabhängig voneinander auftraten.
    3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein über Übelkeit klagender Patient von Erbrechen berichtet?
  14. Auf der Hallig Öde laufen im Sommer \(\frac 23\) Touristen herum, der Rest sind Einheimische. Unabhängig von der Tageszeit sagen \(\frac 9{10}\) der Einheimischen „moin“ zu jeder Person, der sie begegnen. \(\frac 13\) der Touristen haben sich angepasst und sagen ebenfalls „moin“ zu jeder Person, der sie begegnen. Eine entgegenkommende Person sagt nicht „moin“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Touristen handelt?
  15. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Es bezeichne A das Ereignis „Das Augenprodukt ist gerade.“ und B das Ereignis „Das Augenprodukt ist durch 3 teilbar.“ Sind A und B stochastisch unabhängig?
  16. Sonnenbrillen werden ausgesondert, wenn die Funktion der Bügel und die Farbe der Gläser nicht den Anforderungen entspricht. Sind nur die Bügel eingeschränkt gebrauchsfähig, werden diese als 2.Wahl verkauft. Eine produzierte Sonnenbrille ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 4% unbrauchbar und mit
    25% zweite Wahl. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Brille mit fehlerhaften Bügeln auch in der Farbe der Gläser fehlerhaft ist.
  17. In einer Firma wurden Herstellungs- und Prüfprozess eines Gerätes genauer untersucht. Man stellte fest, dass 3% aller hergestellten Geräte defekt sind. Bei dem Prüfprozess wurden 92% aller defekten Geräte als fehlerhaft erkannt, es wurden aber auch 1,5% der funktionierenden Geräte irrtümlich ausgesondert.
    1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein ausgesondertes Gerät tatsächlich
      defekt?
    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein nicht ausgesondertes Gerät funk-
      tionstüchtig?
  18. Eine Firma stellt DVD-Player her, die von Montag bis Freitag produziert werden. Die Qualitätskontrolle stellt fest, dass montags die Quote der fehlerhaften Geräte von 5% auf 15% ansteigt. Ein Kunde reklamiert einen fehlerhaften DVD-Player. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt dieser aus einer Montagsproduktion?
  19. In der Sekundarstufe I einer Schule befinden sich 340 Jungen und 320 Mädchen. In der Sek II sind 150 Jungen und 190 Mädchen.
    1. Erstelle aus diesen Daten eine Vierfeldertafel mit den relativen Häufigkeiten.
    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Junge in der Sek II?
  20. 46% aller Personen in einer Bevölkerungsgruppe sind männlich. Davon sind 35% Raucher. Von den Frauen in dieser Bevölkerungsgruppe sind 79% Nichtraucher.
    a) Erstelle aus diesen Angaben ein vollständiges Baumdiagramm sowie eine Vierfeldertafel.
    b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte rauchende Person männlich?
    c) Erstelle ein Baumdiagramm mit der ersten Stufe Raucher/Nichtraucher.
  21. 52,4% der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres die Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Bundesländern war dieser Anteil mit 59,1% deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8%).
    1. Stelle diesen Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar, und zwar mit relativen Häufigkeiten und mit absoluten Zahlen.
    2. Erstelle daraus zwei Baumdiagramme.
    3. Aus der Gesamtheit der Abiturienten dieses Jahrgangs wird zufällig eine Person ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person männlich?
    4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Person aus Ostdeutschland?
    5. Falls diese Person eine Frau ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie aus Ostdeutschland?
  22. Ein Supermarkt bezieht seine Birnen von zwei verschiedenen Lieferanten. 70% der Birnen kommen von Lieferant A. Von diesen Birnen sind 7% matschig. Insgesamt sind 10% der Birnen matschig. Ein Kunde nimmt im Laden eine Birne aus dem Korb; sie ist matschig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie von Lieferant A?
  23. 5% einer Bevölkerung haben den Erreger einer bestimmten Krankheit im Blut. Ein Schnelltest erkennt 94% der Infizierten als Träger des Erregers. Allerdings werden auch 8% der nicht infizierten Personen irrtümlich für infiziert gehalten.
    1. Erstelle aus diesen Angaben eine Vierfeldertafel und zwei vollständige
      Baumdiagramme.
    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, wenn der Test
      positiv ausfällt?
    3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person nicht infiziert, wenn der
      Test negativ ausfällt?
  24. In einem Gefängnis sitzen die drei Gefangenen: Anton, Brigitte und Clemens. Genau einer von ihnen soll begnadigt werden. Dazu wird ein Los gezogen, das allen die gleiche Chance gibt, begnadigt zu werden. Der
    Gefangene Anton, der also eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte oder Clemens zu nennen, der oder die im Gefängnis bleiben muss. Der Wärter antwortet „Brigitte“ und lügt nicht. Wie hoch ist nun Antons Wahrscheinlichkeit, frei zu kommen?

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