Übungsaufgaben Zufallsvariablen

In diesen Aufgaben kannst du das Aufstellen von Zufallsvariablen und das Berechnen von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung üben.

In diesen Aufgaben kannst du das Aufstellen von Zufallsvariablen und das Berechnen von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung üben.

  1. Aus einer Urne mit 6 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 6 werden mit einem Griff drei Kugeln entnommen. Die Zufallsgröße X bezeichne die Augensumme. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und berechne Erwartungswert und Varianz.
  2. Ein Basketballspieler trifft beim Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8. Er hat höchstens 4 Versuche und hört beim ersten Treffer auf.
    1. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X: Anzahl der Fehlversuche.
    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt er mindestens drei Versuche?
    3. Mit wie vielen Fehlversuchen kann man rechnen?
  3. Drei ideale Münzen werden gleichzeitig geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der folgenden Zufallsvariablen:
    1. X: Anzahl Wappen
    2. Y : Produkt aus Anzahl Wappen und Anzahl Zahl
  4. Beim zweimaligen Werfen eines Würfels sei X die Augensumme und Y das Augenprodukt. Berechne E(X) und E(Y).
  5. Eine ideale Münze wird viermal geworfen. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der Blöcke gleicher Seiten. So wird z.B. dem Ergebis ZZWZ die Zahl 3 zugeordnet. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und berechne E(X).
  6. Acht elektronische Bauteile sind in Reihe geschaltet. Genau eines von ihnen ist defekt. Welchen Plan sollte man verfolgen, um das defekte Teil ausfindig zu machen?
    1. Alle Teile der Reihe nach durchprobieren, bis das fehlerhafte gefunden ist
    2. Erst zwei Viererblocks prüfen, dann im betroffenen Block einzeln weiter
      testen
    3. Erst vier Zweierblocks prüfen, dann im betroffenen Block einzeln weiter
      testen
  7. Janina und Thorge erfinden ein Spiel: Sie schütteln dreimal die rechte Hand und zeigen dann jeweils einen oder zwei Finger. Zeigen beide einen Finger, so erhält Janina von Thorge 20 Cent. Wenn beide zwei Finger zeigen, erhält sie sogar 40 Cent. In allen anderen Fällen muss Janina 30 Cent bezahlen. Ist das Spiel fair?
  8. Bei einem Spiel wird eine Zufallszahl zwischen 0 und 999 bestimmt. Es gibt folgenden Gewinnplan:
    Wenn die Zahl 777 erscheint, gewinnt man 100 Euro.
    In allen anderen Fällen drei gleicher Zahlen gewinnt man 50 Euro.
    Falls die Zahl größer als 900 ist, gewinnt man ansonsten 5 Euro.
    Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable X an, die jedem Ergebnis den Gewinn zuordnet, und berechne, welchen Einsatz das Spiel haben muss, damit es fair ist.
  9. Auf einem Tisch liegen verdeckt drei rote und drei schwarze Karten. Wie oft muss man im Mittel ziehen, bis man eine rote Karte (zwei rote Karten) aufgedeckt hat?
  10. Eine Münze wird mit den Zahlen 2 und z überklebt. Welchen Wert muss z haben, damit der Erwartungswert beim dreimaligen Münzwurf 12 beträgt?
  11. Berechne Erwartungswert und Standardabweichung der folgenden Zufallsvariablen:
    1. Zweimaliges Werfen eines sechsseitigen Würfels, X sei die Augensumme.
    2. Einmaliges Werfen eines achtseitigen und eines vierseitigen Würfels, X sei die Augensumme.
  12. 5% aller Fahrgäste eines Verkehrsverbundes sind Schwarzfahrer. Davon wird im Schnitt jeder Zehnte erwischt. Jeder ertappte Schwarzfahrer zahlt ein Bußgeld von z Euro. Von den ertappten Schwarzfahrern besitzen 30% eine Zeitkarte, die sie aus Vergesslichkeit nicht dabei haben. Wenn die Zeitkarte den
    Verkehrsbetrieben nachträglich vorgelegt wird, wird die Geldbuße unter Einbehaltung einer Bearbeitungsgebühr von 5 Euro zurückerstattet. Von dieser Möglichkeit machen 90% der Betroffenen Gebrauch. Ein Einzelfahrschein, den jeder Schwarzfahrer hätte lösen müssen, kostet durchschnittlich 1,75 Euro.
    1. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X: Einnahmen pro Schwarzfahrer.
    2. Berechne, wie hoch das Bußgeld z anzusetzen wäre, damit den Verkehrs-
      betrieben keine Einnahmeverluste durch Schwarzfahrer entstehen.

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