Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Hier kannst du den Umgang mit speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie der Binomialverteilung und anderen Verteilungen üben.

1. Eine Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p sowie dem Erwartungswert µ und der Standardabweichung σ. Von diesen vier Werten sind zwei gegeben. Berechne die beiden übrigen.
   1. \(n=100, p=\frac 13\)
   2. \(n = 50, \sigma^2 = 9\frac 38\)
   3. \(\mu= 20,\sigma = 4\)
2. Eine Zufallsvariable X ist \(B_{n;p}\)-verteilt. Bestimme die nachfolgend angegebenen Wahrscheinlichkeiten.
   1. \(B_{25;0,4}(10)\)
   2. \(n = 75, p = 0,25, P(X\ge 1)\)
   3. \(n = 50, p = 0,3, P(X\le 17)\)
   4. \(F_{50;0,6}(30)\)
   5. \(n = 100, p = 0,3, P(X < 20)\)
   6. \(P(X >25)\)
   7. \(P(X\ge 35)\)
   8. \(P(20\le X \le 30)\)
   9. \(P(15 < X < 25)\)
   10. \(n = 100, p = 0,8; P(60 ≤ X < 70)\)
3. Eine Zufallsgröße X ist B_50;0,4 -verteilt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von X dem Intervall |µ − k · σ| liegt für k = 1,2,3.
4. Ein Test besteht aus 10 Fragen mit je drei Ankreuzmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist. Jemand geht völlig unvorbereitet in den Test.
   1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden alle Fragen falsch beantwortet?
   2. Für das Bestehen des Tests muss er mindestens 7 Fragen richtig haben.
      Hat er eine Chance?
5. 42,5% aller Deutschen besitzen die Blutgruppe A. Es werden 6 Personen untersucht.
   1. Bezeichne die Zufallsvariable X und gib die Wahrscheinlichkeitsverteilungvon X an.
   2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens zwei Personen
      mit Blutgruppe A?
   3. Wie viele Personen muss man untersuchen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens eine Person mit Blutgruppe A zu vorzufinden?
   4. Es werden 100 Personen untersucht. Gib ein Intervall an, in dem sich die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% befindet.
6. In einer Klinik werden in einem Jahr durchschnittlich 100 Patienten mit einem bestimmten Medikament behandelt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient auf dieses Medikament unerwünschte Nebenwirkungen zeigt, beträgt 0,02. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe eines Jahres bei mehr als 3 Patienten diese Nebenwirkungen auftreten?
7. Laut Brockhaus sind 4% aller männlichen Bundesbürger Linkshänder. Wie viele Linkshänder kann man unter 800 männlichen Bundesbürgern im Schnitt erwarten? Gib ein Intervall an, in dem die Zahl der Linkshänder mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% liegt.
8. 25% aller Wahlberechtigten sind jünger als 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter acht zufällig ausgewählten Wahlberechtigten genau zwei (mindestens 4 / mehr als drei, aber höchstens 6) Personen jünger als 30 Jahre alt sind?
9. Nach einer Untersuchung des Statistischen Bundesamtes sind 56% der Männer in Deutschland übergewichtig. Thorge beobachtet die nächsten 12 Männer, die in den Zug von Kiel nach Hamburg steigen.
   1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beobachtet Thorge genauso viele übergewichtige wie normal- oder untergewichtige Männer?
   2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als die Hälfte der beobachteten Männer übergewichtig ist?
10. Ein Verkäufer weiß aus Erfahrung, dass an einem verkaufsoffenen Sonntag etwa jeder fünfte Kunde auch etwas kauft.
    1. An einem verkaufsoffenen Sonntag werden 300 Kunden erwartet. Mit wievielen Verkäufen kann man rechnen?
    2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der Käufer an diesem
       Tag zwischen 53 und 67 liegt?
11. Eine Firma garantiert, dass 95% ihrer Bohrmaschinen keine Produktionsmängel aufweisen. In einer Kontrolle werden 10 Stück entnommen. Ist höchstens ein Gerät fehlerhaft, so wird die Lieferung akzeptiert, sonst zurückgeschickt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung abgelehnt wird, wenn die Garantie des Herstellers zutrifft.
12. Eine Schokoladenfirma bringt Überraschungseier mit Figuren aus einem Kinofilm auf den Markt. In jedem 7.Ei soll sich eine Figur befinden.
    1. Jemand kauft 5 dieser Eier. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist darunter mindestens eines mit einer Filmfigur?
    2. Wie viele Eier müsste er kaufen, um mit 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine Figur zu bekommen?
13. Erfahrungsgemäß werden in einem Hotel etwa 10% aller Zimmerbuchungen storniert, oder die Gäste reisen nicht an. Deshalb werden für die 92 Zimmer insgesamt 100 Reservierungen angenommen, da man nicht damit rechnet, dass alle Zimmerbuchungen auch zustande kommen. Diesen Vorgang nennt man
    „überbuchen“. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reisen an einem Tag mehr Gäste an als das Hotel anbieten kann?
14. Aus einem Zeitungsartikel der WAZ vom 24.7.1992: „Schlechtes Zeugnis für Männer: In Westdeutschland helfen viel weniger Menschen im Haushalt als in den neuen Bundesländern. Während im Westen nur 15 v.H. mit anpacken, seien es im Osten 25 v.H., so Bundesfrauenministerin Angela Merkel. Die Ministerin beklagt, dass bei der Aufgabenverteilung im Haushalt Partnerschaft noch die Ausnahme sei. An der Doppelbelastung der Mütter in Beruf und Haushalt habe sich wenig geändert.“
    Angenommen, die Umfrageergebnisse treffen heute noch zu. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stehen in einer Partnerschaft im Westen von 10 Frauen 8 oder mehr alleine mit dem Haushalt da? Wie groß ist diese Zahl im Osten?
15. In einem Raum sind 23 Personen, darunter 4 Linkshänder. Es werden zufällig 7 Personen ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter mindestens 2 Linkshänder befinden?
16. In einer Tüte befinden sich 8 Tomaten, zwei davon sind noch grün. Es werden blind 4 Tomaten gezogen. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable X:„Anzahl der grünen Tomaten in der Stichprobe“ auf.
17. Beim Lotto „6 aus 49“ benötigt man mindestens drei Richtige für einen Gewinn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht man leer aus?
18. In einer Lotterie befinden sich unter 250 Losen 50 Gewinnlose. Ernst kauft zu Beginn gleich 10 Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens zwei Gewinne?
19. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schwarzfahrer bei der Bahn bei einer Kontrolle erwischt wird, beträgt 5%.
    1. Es werden 100 Einzelkontrollen durchgeführt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter genau 3 Schwarzfahrer?
    2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der erwischten Schwarzfahrer zwischen 3 und 8 liegt?
    3. Bestimme ein Intervall, in dem die Zahl der erwischten Schwarzfahrer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% liegt.
    4. Wie viele Fahrgäste müßte ein Kontrolleur überprüfen, um mit 90%iger Sicherheit mindestens einen Schwarzfahrer anzutreffen?
20. Unter 6500 Personen befinden sich 512 Linkshänder. Es werden 200 dieser Personen zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter mindestens 175 Rechtshänder befinden?
21. Der Anteil der Linkshänder in der deutschen Bevölkerung betrage 12,5%. Wie viele Personen muß man untersuchen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 90% mindestens 5 Linkshänder anzutreffen?
22. Bei einem Konzert werden 2500 Besucher erwartet. Man vermutet, dass 60% der Zuschauer ein Programmheft kaufen. Wie viele Programmhefte muss man drucken, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% ausreichen?
23. Ungefähr 70% aller Jugendlichen besitzen einen eigenen Fernseher. Wie viele Jugendliche muss man ansprechen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens 600 Jugendliche mit eigenem Fernseher anzutreffen?
24. Von den Verkehrsbetrieben einer Stadt weiß man aus Erfahrung: 35% besitzen einen Einzelfahrschein, 60% eine Zeitkarte, und der Rest kann keinen Fahrschein vorweisen und gilt als Schwarzfahrer. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
    1. Unter 20 kontrollierten Personen befindet sich genau ein Schwarzfahrer.
    2. Unter 37 kontrollierten Personen befanden sich mindestens zwei Schwarzfahrer.
    3. Unter 10 kontrollierten Personen haben zwei einen Einzelfahrschein, sieben eine Zeitkarte, und einer fährt schwarz.
    4. In einem Bus sitzen 20 Fahrgäste, drei von ihnen haben keinen Fahrschein dabei. Der Kontrolleur kann bis zur nächsten Haltestelle noch fünf Fahrgäste kontrollieren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Schwarzfahrer ungeschoren davon kommen?
25. 5% einer Bevölkerung tragen den Erreger einer bestimmten Krankheit im Blut. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter 1500 zufällig ausgewählten Personen
    1. mindestens 60 Personen befinden,
    2. höchstens 90 Personen befinden, die diesen Erreger im Blut tragen.
26. Ein bestimmtes elektronisches Bauteil fällt innerhalb eines bestimmten Zeitraumes mit einer festen Wahrscheinlichkeit p aus. Welche der folgenden Konstellation arbeitet zuverlässiger?
    1. Es werden zwei Bauteile verbaut, und das Gerät funktioniert, wenn mindestens eines der Bauteile arbeitet.
    2. Es werden vier Bauteile verbaut, und das Gerät funktioniert, wenn minestens zwei der Bauteile arbeiten.
       Hinweis: Bilde die Differenz der zu berechnenenden Wahrscheinlichkeiten.