Extremwertaufgabe „Rechteck mit minimalem Flächeninhalt“

Aufgabe

Gegeben ist ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(A=1000\text{cm}^2\). Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks minimal wird.

Lösungsweg

Variablen und Definitionsbereich

Gesucht sind die Seitenlängen des Rechtecks. Diese bezeichnen wir mit a und b. Diese können beliebige positive reelle Zahlen sein: \(a,b\in\mathbb R\) mit \(a,b>0\).

Die Angabe des Definitionsbereichs bei Extremwertaufgaben ist wichtig, da am Rand des Definitionsbereichs die Werte größer sein können als an den Extremstellen, die mit der Ableitung gefunden werden.

Hauptbedingung

Die Größe, die minimal werden soll, ist der Flächeninhalt des Rechtecks, den wir mit A bezeichnen. Und eine Gleichung, die A berechnet, ist:

\(A=a\cdot b\)

Diese Gleichung ist die Hauptbedingung.

Nebenbedingung

Die Hauptbedingung enthält meistens mehrere Variablen, hier a und b. Diese Variablen können nicht beliebig gewählt werden. Mit a = 30 cm und b = 50 cm hätte man ein Rechteck mit A = 1500 cm². Das ist nicht im Sinne der Aufgabe, die sich ein Rechteck mit A = 1000 cm² wünscht.