Quadratische Gleichungen lösen

Zu jeder quadratischen Gleichung gibt es einen passenden Weg, wie man sie am schnellsten löst. Lies hier, wie du zu jeder beliebigen quadratische Gleichung einen geeigneten Lösungsweg findest.

Was ist eine quadratische Gleichung?

In einer quadratischen Gleichung kommt die Variable $x$ als quadratischer Term $x^2$ vor. Wie man die Lösungsmenge dieser Gleichungen bestimmt, wollen wir hier besprechen.

Rein quadratische Gleichungen

Wenn in der Gleichung die Variable nur als Quadrat $x^2$ vorkommt, aber nicht als „normale“ Variable $x$, dann haben wir eine rein quadratische Gleichung. Diese können wir mit Termumformungen vereinfachen:

$$\begin{alignat}{4}
&3x^2-12&&=36&&\qquad\Big| +12 \nonumber\\
\Longleftrightarrow\ &3x^2&&=48&&\qquad\Big| : 3 \nonumber\\
\Longleftrightarrow\ &x^2&&=16&&\qquad\Big| \sqrt{\quad} \nonumber\\
\Longleftrightarrow\ &x&&=4\lor x=-4&\nonumber\\
\end{alignat}$$

Im letzten Schritt benutzen wir, dass es zwei Zahlen gibt, deren Quadrat 16 ist, nämlich 4 und -4. Die Gleichung hat also zwei Lösungen:

$$L=\{4;-4\}$$

Wir rechnen eine weitere rein quadratische Gleichung:

\begin{alignat}{4}
&-4x^2+3&&=19&&\qquad\Big| – 3 \nonumber\\
\Longleftrightarrow\ &-4x^2&&=16&&\qquad\Big| : (-4) \nonumber\\
\Longleftrightarrow\ &x^2&&=-4&&\qquad \nonumber\\
\end{alignat}

An dieser Stelle ist die Rechnung zu Ende, denn es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat -4 ergibt. Quadrate reeller Zahlen sind immer positiv. Deshalb hat die Gleichung keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer:

$$L=\emptyset$$

Gleichung ohne Absolutglied

Wir schauen uns die folgende Gleichung an:

$$5x^2-3x=0$$

In dieser Gleichung enthalten beide Summanden die Variable $x$. Ein Summand ohne $x$ (wie $+3$ oder $-5$) fehlt hier. Solch ein Summand heißt ein Absolutglied, weil er einen absoluten Wert hat, der nicht von $x$ abhängt.

Wenn das Absolutglied fehlt, können wir die Variable $x$ ausklammern und uns einen Vorteil verschaffen:

$$x\cdot(5x-3)=0$$

Wenn du diesen Schritt noch nicht verstanden hast, überlege wie du die Klammer wieder ausmultiplizierst: Du rechnest $x\cdot 5x$ und $x\cdot(-3)$ und erhältst wieder die Ausgangsgleichung.

Welchen Vorteil hat uns das Ausklammern gebracht?

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