Übungsaufgabe Baumdiagramm und Pfadregeln

Der Lehrer Herr Müller isst jeden Tag in der Schulkantine zu Mittag. Am liebsten isst er dann das Stammessen, das in 95% aller Fälle auch noch verfügbar ist. In 2% aller Fälle bekommt er gar kein Essen mehr. Wir betrachten nun eine Woche mit fünf Schultagen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

  1. Herr Müller bekommt jeden Tag ein Essen.
  2. Er bekommt jeden Tag ein Essen, aber nicht einmal das Stammessen.
  3. Er bekommt jeden Tag ein Essen, aber genau an einem Tag nicht das Stammessen.
  4. Er bekommt an zwei Tagen kein Essen und an zwei anderen Tagen kein Stammessen.

Lösungsweg

Der tägliche Versuch von Herrn Müller, ein Essen zu beschaffen, ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Wir unterscheiden jeden Tag folgende Ergebnisse:

  • S: Er bekommt das Stammessen mit Wahrscheinlichkeit 0,95.
  • A: Er bekommt ein anderes Essen mit Wahrscheinlichkeit 0,03.
  • K: Er bekommt kein Essen mehr mit Wahrscheinlichkeit 0,02.

Jede mögliche Essenskombination im Verlauf einer Woche stellt einen Pfad des Baumdiagramms dar. Einen vollständigen Baum wollen wir nicht zeichnen, weil er sehr umfangreich wäre. Stattdessen ermitteln wir in jeder Aufgabe, welche Pfades des Baumdiagramms dem beschriebenen Ereignis entsprechen.

  1. Der Pfad SSSSS bedeutet, dass Herr Müller jeden Tag das Stammessen bekommt. Da die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades 0,98^5.
  2. Jeden Tag ein Essen, aber nicht einmal das Stammessen bedeutet: Er hat fünf Tage lang ein anderes Essen. Der zugehörige Pfad ist AAAAA und hat die Wahrscheinlichkeit 0,03^5.
  3. Herr Müller bekommt an einem Tag nicht das Stammessen, wir wissen aber nicht, an welchem. Deshalb gibt es folgende Pfade zu diesem Ereignis:
    ASSSS, SASSS, SSASS, SSSAS, SSSSA
    Jeder Pfad hat die gleiche Wahrscheinlichkeit 0,02\cdot 0,95^4. Da die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade addiert werden, ist die Lösung also

        \[0,02\cdot 0,95^4+\ldots+0,02\cdot 0,95^4=5\cdot 0,02\cdot 0,95^4\]

  4. An zwei Tagen kein Essen und an zwei Tagen kein Stammessen – das könnte so aussehen:
    KKAAS, KAKAS, KAKSA,… Jedes dieser Ergebnisse hat die Wahrscheinlichkeit 0,02^2\cdot 0,03^2\cdot 0,95. Aber wie viele Ergebnisse gibt es? Wir könnten versuchen, alle aufzulisten. Aber es sind recht viele, und wir müssen uns konzentrieren, alle zu erwischen. Deshalb berechnen wir die Anzahl mit den Regeln der Kombinatorik.
    Zunächst wählen wir aus 5 Tagen zwei K-Tage aus, das sind \binom 52 Möglichkeiten. Aus den übrigen drei Tagen wählen wir zwei A-Tage aus, das sind \binom 32 Möglichkeiten. Der fünfte Tag ist dann automatisch ein S-Tag. Deshalb gibt es insgesamt

        \[\binom 52\cdot\binom 32\cdot\binom 11\]

    Pfade, und die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt:

        \[\binom 52\cdot\binom 32\cdot\binom 11\cdot  0,02^2\cdot 0,03^2\cdot 0,95\]

Zusammengefasst sind bei mehrstufigen Zufallsexperimenten zwei

Schreibe einen Kommentar