Wie weit ist es bis zum Horizont?

Ich bin ja bekennender Dänemark-Fan und verbringe meine Urlaube gerne an der Nordseeküste Südjütlands. Dadurch ist es meiner Aufmerksamkeit nicht entgangen, dass in der Stadt Skærbæk kurz vor dem Rømø-Damm kürzlich ein neuer Aussichtsturm (der …

Ich bin ja bekennender Dänemark-Fan und verbringe meine Urlaube gerne an der Nordseeküste Südjütlands. Dadurch ist es meiner Aufmerksamkeit nicht entgangen, dass in der Stadt Skærbæk kurz vor dem Rømø-Damm kürzlich ein neuer Aussichtsturm (der Marsk Tower) eröffnet wurde. In 36 m Höhe kann man dort seinen Blick über das platte dänische Marschland schweifen lassen. Ich habe gehört, bei gutem Wetter könne man sogar bis Esbjerg schauen.

Das wollte ich genauer wissen, und ich erinnerte mich an eine beliebte Aufgabe aus der Mathe-Nachhilfe:

Wie weit ist es bis zum Horizont?

Dabei lassen wir den Aussichtsturm erstmal weg und nehmen an, wir stehen am Strand und schauen aufs Meer hinaus. Wie weit können wir den Blick schweifen lassen? Als ersten Schritt zur Lösungsfindung stellen wir der Aufgabe erstmal selbst eine Frage: Warum kann man eigentlich nicht unendlich weit gucken? Selbst wenn es keine Bäume, Häuser oder sonstige Hindernisse gäbe, ginge das nicht. Das liegt natürlich daran, dass die Erde eine Kugel ist. Wir schauen geradeaus, aber die Erdoberfläche krümmt sich unter unserem Blick weg.

Eine gute Skizze ist die halbe Lösung

Wir malen uns das ganze mal auf. Die Erde ist in der Skizze ein Kreis, und der Mensch, der am Strand steht, ist ein gerader Strich mit Anfangspunkt A (seine Füße) und Endpunkt B (seine Augen), im Fachjargon „Strecke“ genannt. Die Strecke für den Menschen zeichnen wir „etwas“ größer als er im Verhältnis zur Erde sein dürfte, damit wir die Situation gut malen können:

Ein Mensch der Größe h steht auf der Erde.

Den am weitesten entfernten Punkt auf dem „Erdkreis“, den der Mensch noch sehen kann, finden wir, wenn wir eine Tangente an den Kreis zeichnen:

Seine Blickrichtung zum Horizont ist eine Tangente an den Kreis.

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis nur in einem Punkt C berührt. Wenn wir diesen Berührpunkt mit dem Mittelpunkt des Kreises verbinden, entsteht am Berührpunkt ein rechter Winkel. Eine Gerade, die durch einen Kreis hindurch geht, schneidet ihn in zwei Punkten und heißt eine Sekante.

Der Berührpunkt C ist der am weitesten entfernte Punkt auf dem Kreis, den man vom Punkt B aus noch sehen kann. Wir müssen also die Länge der Strecke BC berechnen. Diese bezeichnen wir mit x.

Und welche Daten sind gegeben? Wir kennen den Erdradius, den man für jeden Ort nachschlagen kann. Ich habe als Ort Kiel mit dem Radius r = 6364 km gewählt. Die Größe des Menschen setzen wir als h = 1,7 m bzw. h = 0,0017 km an. Außerdem haben wir am Berührpunkt C einen rechten Winkel.

Wir reduzieren die Skizze auf die notwendigsten Dinge zum Rechnen und erhalten dieses rechtwinklige Dreieck.

Das rechtwinklige Dreieck zur Berechnung von x

Und an welchen berühmten Satz denken wir sofort, wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck sehen?

Rechtwinklige Dreiecke und der Satz des Pythagoras
Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, heißen die beiden Schenkel des rechten Winkels die Katheten des Dreiecks. Die dritte Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt die Hypotenuse.

In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: Sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse, so gilt die Gleichung a² + b² = c².

Wir wenden den Satz des Pythagoras auf unser Dreieck an und erhalten folgende Gleichung:
$$(r+h)^2=x^2+r^2$$
Unsere gesuchte Variable ist x, also bringen wir r² auf die andere Seite:
$$(r+h)^2-r^2=x^2$$
Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel:
$$\sqrt{(r+h)^2-r^2}=x$$
Da alle Variablen Seitenlängen darstellen und somit positiv sind, brauchen wir keine negative Lösung für das Wurzelziehen zu berücksichtigen. Wir können nun unsere Werte für r und h einsetzen und erhalten:
$$x=\sqrt{(6364\text{ km}+0,0017\text{ km})^2-(6364\text{ km})^2}=4,65\text{ km}$$

Rechnerisch könnte ein 1,70 m großer Mensch also am Strand 4,65 km weit schauen. Und wie sieht es auf dem dänischen Aussichtsturm in 36 m Höhe aus? Die Augen sind dann auf 37,70 m Höhe, und wir setzen den neuen Wert in unsere Formel ein:
$$x_2=\sqrt{(6364\text{ km}+0,0377\text{ km})^2-(6364\text{ km})^2}=21,9\text{ km}$$

Von dem Aussichtsturm aus könnte man bei perfekten äußeren Bedingungen also mehr als 21 km weit schauen. Das kann auch gut sein, denn an der Nordseeküste ist das Land wirklich seeehr flach. Unter folgendem Link findet Ihr eine 360°-Rundumsicht von dem Turm aus:

https://www.360cities.net/de/image/overview-over-tondermarsken-from-marsk-tower?pano_detail=true&portfolio_view=false

Kann man vom Marsk Tower bis Esbjerg schauen?

Der Hafen von Esbjerg ist ziemlich genau 38 km vom Marsk Tower entfernt. Ich habe es nicht zu Fuß abgeschritten, aber mit Google Maps ermittelt. Wer nun sagt, dass 38 km mehr als 21,9 km ist und man Esbjerg deshalb nicht sehen kann, der macht es sich zu einfach. Denn im Hafen von Esbjerg gibt es einen Schornstein, der mit 250,24 m der höchste Schornstein Dänemarks ist. Hier seht ihr ein Bild des Turms, das ich von meiner Lieblingsinsel Fanø gemacht habe, die direkt vor Esbjerg liegt:

Der Schornstein von Esbjerg, fotografiert im Juni 2021 von einer Düne auf Fanø

Wie weit kann man vom Schornstein aus schauen?

Ich habe mir überlegt, dass ich einfach mal ausrechne, wie weit man von dem 250 m hohen Schornstein aus schauen kann, wenn man sich die Mühe machen würde, da hoch zu klettern. Wir setzen also den neuen Wert \(h_3=250\) in unsere Formel ein:

$$x_3=\sqrt{(6364\text{ km}+0,25\text{ km})^2-(6364\text{ km})^2}=56,41\text{ km}$$

Wenn ich also von der Spitze des Schornsteins 56 km weit schauen könnte und der Aussichtsturm nur 38 km entfernt ist, kann ich die Spitze auf jeden Fall sehen. Vermutlich kann man sogar einen großen Teil dieses Turmes sehen.

Der reale Beweis meiner Vermutung

Anfang September war es so weit: Wir haben einen Tagesausflug nach Dänemark gemacht und dabei 90 dänische Kronen in die Hand genommen, um auf den Marsk Tower zu steigen. Hier folgen also nun die Beweisfotos, dass man den 38 km entfernten Esbjerg-Turm tatsächlich von dem Aussichtsturm sehen kann. Zunächst ein Gesamtbild von der Richtung, dann ein vergrößerter Bildausschnitt. Mehr Qualität hat mein einfaches Zoom-Objektiv nicht hergegeben:

Aussicht vom Marsk Tower Richtung Esbjerg
Vergrößerter Bildausschnitt mit Schornstein

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