Übungsaufgaben

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  1. Berechne jeweils \frac 1z

    1. z=-i

    2. z=2i

    3. z=-8i

    4. z=\frac 12

    5. z=-\frac 17

    6. z=1+i

    7. z=-1-i

    8. z=2+i

    9. z=-3+2i

    10. z=5-8i

  2. Berechne folgende Quotienten:

    1. \frac{1+i}{1-i}

    2. \frac{3-i}{i}

    3. \frac{2i}{2+2i}

    4. \frac{-3i}{4-5i}

    5. \frac{-5+2i}{-9i}

    6. \frac{3-5i}{2+i}

    7. \frac{7+2i}{-6+3i}

    8. \frac{12+i}{6-9i}

    9. \frac{-3-i}{-3+i}

    10. \frac{8-7i}{-2-i}

    11. \frac{3,2-1,5i}{\sqrt 3+4i}

    12. \frac{7-9i}{-5+\sqrt 5i}

    13. \frac{-12+7i}{\sqrt 6-\sqrt 7i}

    14. \frac{\sqrt 2-3i}{11+8i}

    15. \frac{\sqrt 5+2i}{\sqrt 5-2i}

  3. Bringe die folgenden Ausdrücke in die Form a+bi:

    1. 1+\frac 1i

    2. -3-\frac 2i

    3. i-\frac 1i

    4. -2i+\frac 5i

    5. \frac 1{2-i}-\frac 1{2+i}

    6. \frac{-4+2i}{-i}+\frac{5-3i}{2i}

    7. \frac 1{2-3i}+\frac 1{3+2i}

    8. \frac{4-3i}{2+i}-\frac{5+2i}{-3-i}

    9. (\frac i{1-i})^2

    10. (1-\frac 3i)^2

    11. (2i+\frac 7i)^2

    12. (1-\frac i{1+i})^2

  4. Bestimme die Lösungen der gegebenen Gleichungen in der Form z=a+bi.

    1. (1+i)z+(3-i)=7-3i

    2. (4-i)z-(4+26i)=30+25i

    3. (110-17i)-z(7-3i)=-180+99i

    4. (-2+2i)z = (6+4i)^2

    5. \frac z{-i}=(8-2i)+(-3+10i)

    6. \frac z{2+\sqrt 3i}=-i(\sqrt 3-2i)

    7. \frac{(2-i)z}{-3+5i}=\frac{3-2i}{-1-i}+(-2+10i)

    8. \frac{(-1+i)z}{2+3i}=\frac{-7+4i}{i}-4+7i

  5. Zeige, dass für konjugierte Zahlen z und z^* die folgenden Beziehungen gelten:

    1. (z^*)^*=z

    2. z+z^*=2\cdot Re(z)

    3. z-z^*=2\cdot Im(z)i

  6. Zeige, daß für je zwei komplexe Zahlen z_1 und z_2 die folgenden Beziehungen erfüllt sind:

    1. (z_1+z_2)^*=z_1^*+z_2^*

    2. (z_1-z_2)^*=z_1^*-z_2^*

    3. (z_1z_2)^*=z_1^*z_2^*

    4. (z_1:z_2)^*=z_1^*:z_2^*

  7. Zeige:

    1. Wenn z=z^* gilt, dann ist z eine reelle Zahl.

    2. Wenn z=-z^* gilt, dann ist z eine rein imaginäre Zahl.

  8. Zeichne zu den komplexen Zahlen 3+2i, -4+7i, -5-8i, -1+3i und ihren konjugierten Zahlen die entsprechenden Zeiger. Wie läßt sich der Übergang von einer komplexen Zahl zu ihrer konjugierten Zahl geometrisch beschreiben?

  9. Wir betrachten die folgende Teilmenge von C: Q(i)=\{\ a+bi\ |\ a,b\in Q\ \}. Zeige:

    1. Für je zwei Elemente q_1 und q_2 von Q(i) sind auch q_1q_2 und q_1+q_2 wieder Elemente von Q(i).

    2. Für jedes Element q\in Q(i) sind auch -q und \frac 1q wieder Elemente von Q(i).

    3. Die Menge Q(i) ist ein Körper.