Ist die Kekspackung halbvoll oder halbleer?

Ob halbvoll oder halbleer – auf jeden Fall ist sie ungeöffnet, und darüber möchte ich heute sprechen. Ihr kennt ja Leibniz, diesen Gelehrten aus dem 17./18. Jahrhundert, der den Butterkeks erfunden hat. Etwas weniger bekannt …

Ob halbvoll oder halbleer – auf jeden Fall ist sie ungeöffnet, und darüber möchte ich heute sprechen. Ihr kennt ja Leibniz, diesen Gelehrten aus dem 17./18. Jahrhundert, der den Butterkeks erfunden hat. Etwas weniger bekannt als das Standardwerk mit 52 Zähnen ist ein Schokowaffelkeks, der früher nach einem Kontinent benannt war und seit kurzem so ähnlich heißt wie eine Maschine, die ewig in Bewegung bleibt.

Um die Namensänderung soll es heute gar nicht gehen, sondern um den Keks an sich. Ich hatte heute solch eine Packung in der Hand, und das federleichte, fast schwebende Gefühl, das diese Packung mir verlieh, inspirierte mich zu der folgenden Aufgabenstellung. Im Bild oben seht ihr übrigens den originalen Inhalt der ungeöffneten Packung. (SPOILER: Vor dem Redesign waren diese Packungen voll!)

Nun aber die Aufgabe: Nehmen wir an, dieser Keks sei früher in Packungen à 130 g zu einem Preis von 1,99 € verkauft worden. Im neuen Produktdesign koste die Packung immer noch das gleiche, aber enthalte nur noch 97 g.

  1. Bestimme in beiden Fällen den Preis pro 100 g.
  2. Wie viel würde die Packung kosten, wenn der Hersteller den Preis entsprechend dem Gewicht angepasst hätte?
  3. Um wie viel Prozent ist der Preis teurer geworden?
  4. Wie viel Euro würde mit dem neuen Preis eine Packung kosten, die wie früher 130 g enthält?
  5. Und nun meine Lieblingsfrage aus jedem Schulaufsatz: Beurteile kritisch deine Ergebnisse!

Die alte Packung: 130 g für 1,99 €

Wir notieren alle relevanten Daten zu der Kekspackung mit dem bisherigen Preis in einer Tabelle. In der ersten Zeile stehen alle Gramm-Zahlen, die uns bei Frage 1-4 interessieren. In der zweiten Zeile stehen die zugehörigen Preise, soweit bekannt, oder Variablen als Platzhalter:

g94100130
yx1,99

In der Tabelle gibt es ein Zahlenpaar, bei dem Grammzahl und Preis bekannt sind: 130 g kosteten früher 1,99 €. Diese Zahlen dividieren wir jetzt durcheinander:

\(\frac{1,99\text{ €}}{130\text g}=0,0153\frac{\text €}{\text g}\)

Dies ist der Preis pro Gramm. Und wenn ein Gramm 0,0153 € kostet, dann kosten 100 g natürlich

\(x=100\cdot 0,0153\text €=1,53\text €\).

Und 94 g kosten

\(y=94\cdot 0,0153\text €=1,42\text €\).

Damit haben wir die ersten beiden Fragen schon beantwortet: Der Preis pro 100 g ist 1,53 €, und die Packung mit 97 g Inhalt würde 1,42 € kosten, wenn der Preis entsprechend dem Gewicht sinken würde. (Zur Erinnerung: Sie kostet immer noch 1,99 €).

Proportionale Zuordnung

Wenn der Preis sich „entsprechend dem Gewicht“ verhält, nennt man das eine proportionale Zuordnung. Bei einer proportionalen Zuordnung hat das doppelte Gewicht den doppelten Preis, das dreifache Gewicht den dreifachen Preis und so weiter. Mathematisch bedeutet das: Der Quotient aus Preis und Gewicht ist konstant:

g94100130
1,42 1,53 1,99
\(\frac €g\)0,01530,01530,0153

Und es ist der Quotient, der in der Tabelle in jeder Spalte gleich ist. Die Zuordnung Gewicht → Preis ist nämlich eine proportionale Zuordnung.

\(\begin{array}{rcl}130\text{ g}&\longrightarrow&1,99\text{ €}\\100\text{ g}&\longrightarrow&x\end{array}\)

Die besondere Eigenschaft einer proportionalen Zuordnung ist, dass der Quotient aus rechter und linker Seite bei jedem Wertepaar gleich ist. Wenn wir also den €-Betrag durch die entsprechende Gramm-Zahl teilen, kommt immer das gleiche heraus:

\(\frac{1,99\text{ €}}{130\text g}=0,0153\frac{\text €}{\text g}\)

Wenn wir also den entsprechenden Quotienten in der zweiten Zeile berechnen, muss das gleiche herauskommen:

\(\frac{x}{100\text g}=0,0153\frac{\text €}{\text g}\)

Diese Zeile können wir nun leicht nach x umstellen:

\(x= 0,0153\frac{\text €}{\text g}\cdot 100\text g=1,53\ €\)

Bisher kosteten 100 g Keks also 1,53 €.

Der neue Preis pro 100 g

Jetzt kosten 94 g schon 1,99 €. Den neuen Preis pro 100 g nennen wir \(y\):

\(\begin{array}{rcl}94\text{ g}&\longrightarrow&1,99\text{ €}\\100\text{ g}&\longrightarrow&y\end{array}\)

Wir rechnen wieder den Proportionalitätsfaktor aus:

\(\frac{1,99\text{ €}}{94\text g}=0,0212\frac{\text €}{\text g}\)

Also gilt für die zweite Zeile::

\(\frac{x}{100\text g}=0,0212\frac{\text €}{\text g}\)

Wir stellen wieder nach x um:

\(x= 0,0212\frac{\text €}{\text g}\cdot 100\text g=2,12\ €\)

Jetzt kosten 100 g Keks 2,12 €.

Proportionale Zuordnungen

Wir können uns merken: Wenn wir eine proportionale Zuordnung untersuchen wollen, müssen wir ein Wertepaar finden, in dem beide Werte bekannt sind (z.B. 130 g und 1,99 €). Dann teilen wir den zweiten Wert durch den ersten und haben die Proportionalitätskonstante c, die wir auf beliebige andere Werte anwenden können. Denn in jedem Wertepaar (x,y) gilt:

\(\frac xy=c\)

Die Frage ist, woran man eine proportionale Zuordnung erkennt. Dazu sollte man sich überlegen, ob sich bei einer Verdopplung des ersten Wertes auch der zweite Wert verdoppelt. Bei den Keksen ist das so, denn doppelt so viel Keks kostet auch doppelt so viel Geld.

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