Volumen und Oberfläche von Körpern

  1. Erkläre die folgenden Begriffe und Körper. Nenne zu den Körpern jeweils die Formel für Volumen, Oberfläche und Mantelfläche.
    1. Quader
    2. Prisma
    3. Zylinder
    4. Pyramide
    5. Kegel
    6. Kugel
    7. Satz von Cavalieri

  2. Ein quaderförmiger Sandstein ist 28cm breit, 96cm lang und 12,5cm dick. Die Dichte beträgt 2,8 g/cm³. Berechne das Volumen des Steins. Welche Masse besitzt er?
  3. Berechne die Seitenkante a und das Volumen eines Würfels, dessen Oberfläche 864 cm² groß ist.
  4. Im Eingangsbereich eines Hotels steht ein gläsernes Prisma, dessen Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit a = 45 cm ist. Berechne das Volumen des Körpers, wenn die Höhe 120 cm beträgt. Wie groß ist die Mantelfläche?
  5. Ein Schwimmbecken ist 25 Meter lang und 12 Meter breit. Im Nichtschwimmerbereich (9 Meter lang) hat es eine Tiefe von 1,5 m. Danach nimmt die Wassertiefe gleichmäßig bis auf 4 Meter zu. Dort beginnt der 8 Meter lange Schwimmerbereich. Mache eine Skizze von dem Schwimmbecken und berechne die Wassermenge, die für eine Füllung benötigt wird.
  6. Es soll ein 400 m langer Lärmschutzwall mit dem Querschnitt eines gleichschenkligen Trapezes aufgeschüttet werden. Die Dammsohle soll 10 m und die Dammkrone 6 m breit werden. Die Höhe des Damms beträgt 4,5 m. Wie viel Schüttgut muss für den Bau angefahren werden. Wie viele Tonnen Schüttgut (\varrho=1,34 g/cm^3) werden für den Damm benötigt?
  7. Das Dach eines Gartenhäuschens hat die Gestalt einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. Eine Seite des Häuschens ist jeweils 1,5m lang, das Dach ist 0,8m hoch. Wie viel Dachpappe wird zum Decken benötigt, wenn zusätzlich 12,5% Verschnitt anfällt?
  8. Ein runder Betonpfeiler hat einen Durchmesser von 25 cm und eine Höhe von 75 cm.
    1. Wie groß ist seine Mantelfläche?
    2. Wie groß ist sein Volumen?
    3. Berechne die Masse, wenn seine Dichte \varrho=2,3g/cm^3 beträgt.

  9. In einer Wassertonne befinden sich 218 Liter Wasser. Der innere Durchmesser der Tonne beträgt 75 cm. Berechne die Höhe des Wasserstandes in der Tonne.
  10. Bestimme die Dicke eines Kupferdrahtes, der eine Masse von 4,5kg und eine Länge von 3000 m hat (\varrho = 8,9 g/cm^3).
  11. Ein Brunnen ist 12 m tief und hat einen inneren Durchmesser von 140 cm. Berechne das Volumen und die Masse des Mauerwerkes, wenn die Mauerstärke 30 cm beträgt. Die Dichte der Steine beträgt 2,5 g/cm³.
  12. In einem Betonwerk sollen 7 m lange Betonröhren hergestellt werden. Der innere Durchmesser der Röhren beträgt 1,4 m. De Wandstärke soll 10 cm betragen. Wie viel m³ Beton benötigt man für die Herstellung der Röhren? Wie viele Tonnen Beton müssen angefahren werden, wenn die Dichte von Beton 2,2 t/m^3 beträgt?
  13. Bestimme Volumen und Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide mit rechteckiger Grundfläche (a = 8 cm, b = 15 cm, h = 10 cm).
    1. Wie viele m³ Steine wurden etwa verarbeitet?
    2. Heute beträgt die Länge der Grundseite nur noch 227 m, die Höhe nur 137 m. Wie viele m³ sind inzwischen verwittert?
    3. Wie viel Prozent der ursprünglichen Pyramide sind das?

  14. Die größte ägyptische Pyramide ist die 2600 v.Chr. erbaute Cheops-Pyramide. Sie war ursprünglich 146 m hoch, die Seitenlänge ihrer quadratischen Grundfläche betrug ca. 233 m.
  15. Ein regelmäßiger Oktaeder besteht aus zwei Pyramiden mit gemeinsamer quadratischer Grundfläche, deren Kanten alle die gleiche Länge a besitzen (Doppelpyramide). Bestimmen Sie das Volumen des Oktaeders als Formel in Abhängigkeit von der Kantenlänge a.
  16. Berechne das Volumen und die Oberfläche einer regelmäßigen 5-seitigen Pyramide mit der Grundseite a = 5 cm und der Höhe h = 12 cm.
  17. Ein runder Wassereimer hat einen unteren Durchmesser von 15cm, einen oberen Durchmesser von 21cm und ist 20cm hoch. Wieviel Liter faßt der Eimer?
  18. Das kegelförmige Dach eines runden Turmes hat einen Umfang von 10 m und eine Seitenkante von 7,60 m. Berechne die Höhe und die Oberfläche des Daches.
  19. Ein kegelförmiger Sandhaufen hat einen Durchmesser von 10 m und eine Höhe von 3 m. Er soll mit einem LKW abgefahren werden. Der Lastwagen darf 18t laden. Wie oft muss er fahren, wenn die Dichte des Sandes 2,2 g/cm³ beträgt?
  20. Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche des Planeten Venus (r = 6052 km).
  21. Früher dachten viele Menschen, die Erde sei eine kreisrunde Scheibe. Heute wissen wir, daß die Erde kugelförmige Gestalt hat. Welchen Durchmesser müßte die “Scheibe” im Vergleich zur Kugel haben, wenn die Fläche der Erde in beiden Fällen gleich groß sein soll?
  22. Kegler benutzen Kugeln mit einer Masse von 2800 g, der Durchmesser solcher Kugeln beträgt 16 cm.
    1. Berechne das Volumen einer solchen Kugel.
    2. Wie schwer ist eine Kugel aus dem gleichem Material, wenn 1 cm abgedrechselt wird?

  23. Die Lunge eines erwachsenen Menschen hat ca. 75 Millionen halbkugelförmige Lungenbläschen von 1mm Durchmesser. Berechne die Gesamtfläche, an der sich der Gasaustausch (Sauerstoff-Kohlendioxid) vollzieht.
  24. Mit einem Zerstäuber werden 10 cm³ Parfüm zerstäubt. Wie viele Tropfen entstehen, wenn jeder einen Radius von 0,02 mm hat?
  25. Bestimme die Masse einer Hohlkugel mit dem Innenradius r_1, dem Außenradius r_2 und der Dichte \varrho. Rechne zunächst allgemein und setze dann folgende Werte ein: r_1=12,2cm, r_2=14,8cm und \varrho=1,8\frac{g}{cm^3}.
  26. Aus einem kugelförmigen Tropfen einer Seifenlösung von 3mm Durchmesser wird eine Seifenblase von 8cm Außendurchmesser gebildet. Wie dick ist die Wand dieser Seifenblase?
  27. Aus einer Bleikugel mit dem Radius 6 cm werden 10 gleich große Kugeln gegossen.
    1. Die Dichte von Blei beträgt \varrho=11,35g/cm^3. Berechne die Masse dieser Kugel in kg.
    2. Berechne die Oberfläche der großen Kugel.
    3. Berechne den Radius der kleineren Kugeln.
    4. Wie groß ist der Unterschied zwischen der Oberfläche der großen Kugel und der gesamten Oberfläche der zehn kleineren Kugeln?

  28. Eine Kugel aus Eisen (\varrho=7,8 g/cm^3) wiegt 1,419 kg. Sie besitzt einen Umfang von 33,9 cm.
    1. Berechne das Volumen der gesamten Kugel.
    2. Begründe, daß es sich um eine Hohlkugel handelt.
    3. Bestimme das Volumen der Kugelschale.
    4. Ermittle das Volumen und den Radius des kugelförmigen Hohlraumes.
    5. Welche Wandstärke besitzt die Hohlkugel?

  29. Ein zylindrischer Bleikörper von 35 mm Durchmesser wird zu einer Kugel von 50 mm Durchmesser umgegossen. Wie hoch war der Zylinder?
  30. Ein Zirkuszelt hat die Form eines Zylinders mit aufgesetztem Kegel. Der zylindrische Teil hat einen Durchmesser von 38 m und eine Höhe von 10 m. Die Gesamthöhe des Zeltes beträgt 22 m. Berechne die Fläche der Zeltplane.
  31. Ein zylindrisches Gefäß mit einem Innendurchmesser von 5 cm ist 8 cm hoch mit Wasser gefüllt. In das Gefäß werden 6 Eisenkugeln mit einem Durchmesser von 6 cm geworfen. Die Kugeln tauchen vollständig unter. Um wieviele cm steigt das Wasser?
  32. Einem geraden Zylinder mit einem Radius von 13cm und einer Höhe von 15,7cm ist ein Quader mit gleicher Höhe einbeschrieben. Die Länge einer Grundkante des Quaders beträgt 10cm. Berechne das Volumen des Quaders.
  33. Aus einem Zylinder (r=10cm, h=50cm) soll ein Kegel mit gleicher Grundfläche und gleichem Volumen hergestellt werden. Wie groß ist die Höhe des Kegels? Wie ändert sich die Oberfläche des Kegels prozentual gegenüber der des Zylinders?
  34. Drei Kugeln mit einem Volumen von je 20cm³ sollen zu einem Würfel umgeschmolzen werden. Wie lang wird die Kantenlänge des Würfels? Wie verändert sich prozentual die gesamte Oberfläche?
  35. Einem Eisverkäufer werden 18 quaderförmige Behälter mit Eis (a=25 cm, b=15 cm, c=12 cm) geliefert.
    1. Wie viele Liter Eis erhält er?
    2. Zum Abmessen der Portionen benutzt er halbkugelförmige Kellen mit 4,8 cm Durchmesser. Wie viele Portionen kann er verkaufen, wenn man die Verluste nicht berücksichtigt?
    3. Mit einer anderen halbkugelförmigen Kelle kann er 2300 Portionen abmessen. Um wie viele mm unterscheiden sich die Radien der beiden Kellen?

  36. Gegeben sei eine Kugel mit dem Radius r. Wie groß muß die Höhe einers Zylinders mit gleichem Volumen sein, wenn sein Grundkreisradius mit dem Radius der Kugel übereinstimmt? In welchem Verhältnis stehen die Oberflächen dieser beiden Körper?