Fakultät einer natürlichen Zahl

Aufgabe

Wie ist die Fakultät n! einer natürlichen Zahl definiert? Berechne 5! und 6! im Kopf und 9! mit dem Taschenrechner.

Lösungsweg

Die Fakultät einer Zahl n ist das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen:

$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot…\cdot n$$

Also ist:

  • \(5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\)
  • \(6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=5!\cdot 6=720\)
  • \(9!=362880\) (mit dem Taschenrechner berechnet)

Allgemein gilt für natürliche Zahlen: \(n!=(n-1)!\cdot n\). Mit dieser Regel kann man die Fakultät auch mathematisch definieren, und zwar mit einer induktiven Definition. Man legt fest, dass 0! = 1 sein soll. Und dann definiert man, wie man aus einer gegebenen Fakultät die Fakultät des Nachfolgers bestimmen kann, nämlich als \((n+1)!=n!\cdot (n+1)\). Auf diese Weise ist die Fakultät für jede natürliche Zahl definiert:

  • \(0! = 1\)
  • \(1! = 0! \cdot 1\)

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