Baumdiagramm und Vierfeldertafel

An dieser Stelle findest du ganz viele Aufgaben zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, hauptsächlich mittels Baumdiagramm und Vierfeldertafel. Außerdem kommen die Themen bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen vor. Aufgabe 1 Herr Meier isst jeden Tag in der Firmenkantine zu Mittag. Am liebsten isst er dann das Stammessen, das in 95% aller Fälle auch noch verfügbar ist. In 2% aller Fälle bekommt er gar kein Essen mehr. Es wird nun eine Woche mit 5 Werktagen betrachtet. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: Herr Meier bekommt jeden Tag ein Essen. Er bekommt jeden Tag ein Essen, aber nicht einmal das Stammessen. Er bekommt jeden Tag ein Essen, aber genau an einem Tag nicht das Stammessen. Er bekommt an zwei Tagen kein Essen und an zwei anderen Tagen kein Stammessen. Aufgabe 2 In einer Fabrik wird Porzellan hergestellt. Die hergestellten Teile werden dabei auf Form, Farbe und Oberflächenbeschaffenheit geprüft. Erfahrungsgemäß muss bei 25 % die Form beanstandet werden. Die Farbkontrolle passieren 85 % der Teile ohne Beanstandung. In 20% der Fälle genügt die Oberfläche nicht den Anforderungen der 1.Wahl. Nur wenn alle drei Kontrollen fehlerfrei sind, gilt ein Teil als 1.Wahl. Das Produkt gilt als zweite Wahl, wenn die Qualität nur an einer Kontrollstelle nicht ausreicht. Alle übrigen Teile gelten als Ausschuss. Stelle diese Kontrollen in einem Baumdiagramm dar. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Teil 1.Wahl / 2.Wahl / Ausschuß? Aufgabe 3 Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Zeichne das Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Mehr als zweimal Wappen B: Mindestens zweimal Wappen C: Es erscheint nicht zweimal hintereinander das gleiche Ergebnis. D: Es kommen sowohl Wappen als auch Zahl vor. Aufgabe 4 An einem Schlüsselbund befinden sich 6 Schlüssel. Du kommst nachts nach Hause und suchst deinen Haustürschlüssel. Dabei probierst du blind die Schlüssel der Reihe nach durch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du den richtigen Schlüssel beim ersten (dritten, vierten) Mal findest? Aufgabe 5 In einer Schulklasse sind 13 Jungen und 7 Mädchen. Zur Vorbereitung der Studienfahrt wird ein Dreierausschuss ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit… …wird die Kurssprecherin in den Ausschuß gewählt? …besteht der Ausschuß nur aus Mädchen? …enthält der Ausschuß genau einen Jungen, wenn vorher festgelegt wurde, dass die Kurssprecherin auf jeden Fall dem Ausschuss angehören soll? Aufgabe 6 Bei einem Spielautomaten gibt es drei gleichartige Räder mit den Ziffern 0-9. Bei einem Spiel drehen sich die Räder, bleiben zufällig stehen und bilden dann eine dreistellige Zahl. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Es erscheint die Zahl 353. B: Dine Zahl kleiner als 50. C: Die Zahl enthält genau zwei Einsen. D: Die Zahl enthält keine 0. E: Die Augensumme ist 10. Aufgabe 7 In einer Obstkiste befinden sich 10 rote und 20 gelbe Tomaten gleicher Größe und Form. Du ziehst daraus blind nacheinander drei Tomaten. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: Genau zwei Tomaten sind gelb. Mindestens zwei Tomaten sind gelb. Die zweite Tomate ist gelb. Beim ersten Mal wurde eine rote Tomate gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit folgen danach zwei gelbe? Aufgabe 8 Eine Schule wird von 500 Schülern besucht, von denen 300 männlich sind. 435 Schüler sind rechtshändig, von diesen sind 261 männlich. Hängt die Links-/Rechtshändigkeit vom Geschlecht ab? Aufgabe 9 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl zwischen 1 und 100 durch 5 teilbar ist, wenn man weiß, dass sie durch 3 teilbar ist? Aufgabe 10 Ein Skatspieler nimmt aus einem Kartenspiel mit 32 Karten 10 Karten auf. Wir betrachten folgende Ereignisse: A: Er hat alle vier Asse. B: Er hat alle vier Buben. C: Er hat den Kreuz-Buben. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten: P(A), P(C), PA (C), PB (C), PC (A), PB (A). Aufgabe 11 In einer Lieferung von 20 Batterien sind 5 ungeladen. Es sei A:„Die ersteBatterie ist geladen“ und B:„Die zweite Batterie ist geladen.“ Bestimme P(A),PA (B) und P(B). Aufgabe 12 Eine idealer Würfel wird dreimal geworfen. Man erhält einen Gewinn, wennbei den drei Würfen genau eine 6 ist. Durch welche Ereignisse verbessert sichdie Chance auf diesen Gewinn?a) A: Im ersten Wurf fällt eine 6.b) B: Im ersten Wurf fällt keine 6. Aufgabe 13 In einem Restaurant essen 60 % der Gäste keine Nachspeise und 50 % der Gäste keine Vorspeise. 30% essen weder Vor- noch Nachspeise. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast, der keine Nachspeise bestellt, auch keine Vorspeise hatte? Aufgabe 14 Zur Untersuchung der Nebenwirkung eines in der Entwicklung befindlichen Schmerzmittels wurden bei 500 Patienten die auftretenten Nebenwirkungen dokumentiert. 50 Patienten wurde es übel, 60 Patienten litten an Kopfschmerzen. 15 Patienten gaben an, sich erbrochen zu haben. Von den 500 Patienten berichteten 6 sowohl von Kopfschmerzen als auch von Übelkeit. Untersuche, ob Übelkeit und Erbrechen unabhängig voneinander auftraten. Untersuche, ob Übelkeit und Kopfweh unabhängig voneinander auftraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein über Übelkeit klagenderPatient von Erbrechen berichtet? Aufgabe 15 Auf der Hallig Öde laufen im Sommer zwei Drittel Touristen herum, der Rest sind Einheimische. Unabhängig von der Tageszeit sagen 9/10 der Einheimischen „moin“ zu jeder Person, der sie begegnen. 1/3 der Touristen haben sich angepasst und sagen ebenfalls „moin“ zu jeder Person, der sie begegnen. Eine entgegenkommende Person sagt nicht „moin“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Touristen handelt? Aufgabe 16 Ein Würfel wird zweimal geworfen. Es bezeichne A das Ereignis „Das Au-genprodukt ist gerade.“ und B das Ereignis „Das Augenprodukt ist durch 3teilbar.“ Sind A und B stochastisch unabhängig? Aufgabe 17 Sonnenbrillen werden ausgesondert, wenn die Funktion der Bügel und die Farbe der Gläser nicht den Anforderungen entspricht. Sind nur die Bügel eingeschränkt gebrauchsfähig, werden diese als 2.Wahl verkauft. Eine produzierte Sonnenbrille ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 4% unbrauchbar und mit 25 % zweite Wahl. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Brille mit fehlerhaften Bügeln auch in der Farbe der Gläser fehlerhaft ist. Aufgabe 18 In einer Firma wurden Herstellungs- und Prüfprozess eines Gerätes genauer untersucht. Man stellte fest, dass 3 % aller hergestellten Geräte defekt sind. Bei dem Prüfprozess wurden 92 % aller defekten Geräte als fehlerhaft erkannt, es wurden aber auch 1,5 % der funktionierenden Geräte irrtümlich ausgesondert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein ausgesondertes Gerät tatsächlich defekt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein nicht ausgesondertes Gerät funktionstüchtig? Aufgabe 19 Eine Firma stellt DVD-Player her, die von Montag bis Freitag produziert werden. Die Qualitätskontrolle stellt fest, dass montags die Quote der fehlerhaften Geräte von 5 % auf 15 % ansteigt. Ein Kunde reklamiert einen fehlerhaften DVD-Player. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt dieser aus einer Montagsproduktion? Aufgabe 20 In der Sekundarstufe I einer Schule befinden sich 340 Jungen und 320 Mädchen. In der Sek II sind 150 Jungen und 190 Mädchen. Erstelle aus diesen Daten eine Vierfeldertafel mit den relativen Häufigkeiten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Junge in der Sek II? Aufgabe 21 46 % aller Personen in einer Bevölkerungsgruppe sind männlich. Davon sind 35 % Raucher. Von den Frauen in dieser Bevölkerungsgruppe sind 79 % Nichtraucher. Erstelle aus diesen Angaben ein vollständiges Baumdiagramm sowie eine Vierfeldertafel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte rauchende Person männlich? Erstelle ein Baumdiagramm mit der ersten Stufe Raucher/Nichtraucher. Aufgabe 22 52,4 % der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres die Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Bundesländern war dieser Anteil mit 59,1% deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8 %). Stelle diesen Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar, und zwar mit relativen Häufigkeiten und mit absoluten Zahlen. Erstelle daraus zwei Baumdiagramme. Aus der Gesamtheit der Abiturienten eines Jahrgangs wird zufällig eine Person ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person männlich? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person eine Frau? Aufgabe 23 Ein Supermarkt bezieht seine Birnen von zwei verschiedenen Lieferanten. 70 % der Birnen kommen von Lieferant A. Von diesen Birnen sind 7 % matschig. Insgesamt sind 10 % der Birnen matschig. Ein Kunde nimmt im Laden eine Birne aus dem Korb; sie ist matschig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie von Lieferant A? Aufgabe 24 5% einer Bevölkerung tragen ein Virus in sich, das eine bestimmte Atemwegserkrankung hervorruft. Ein Schnelltest erkennt 94% der Infizierten als Träger des Erregers. Allerdingswerden auch 8% der nicht infizierten Personen irrtümlich für infiziert gehalten. Erstelle aus diesen Angaben eine Vierfeldertafel und zwei vollständige Baumdiagramme. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, wenn der Test positiv ausfällt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person nicht infiziert, wenn der Test negativ ausfällt? Aufgabe 25 In einem Gefängnis sitzen drei zum Tode verurteilte Gefangene: Anton, Brigitte und Clemens. Genau einer von ihnen soll begnadigt werden. Dazu wird ein Los gezogen, das allen die gleiche Chance gibt, begnadigt zu werden. Der Gefangene Anton, der also eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte oder Clemens zu nennen, der oder die sterben muss. Der Wärter antwortet „Brigitte“ und lügt nicht. Wie hoch ist nun Antons Überlebenswahrscheinlichkeit?

Die binomischen Formeln

Die binomischen Formeln waren mir in meiner Laufbahn als Nachhilfelehrer schon immer ein Rätsel. Nicht weil ich sie nicht verstehe – das tue ich sogar ziemlich gut. Aber sehr viele Schüler haben Angst vor ihnen, können sie sich nicht merken und können sie auch nicht sicher anwenden, selbst wenn sie vor ihnen aufgeschrieben sind. Das mit der Angst resultiert wohl aus den beiden anderen Punkten. Und den dritten Punkt könnte man mit der Musik vergleichen: Selbst wenn ich die Noten eines Stückes von Billy Joel vor mir hätte, hieße das nicht automatisch, dass ich es auch auf dem Klavier spielen kann. Was bräuchte ich, um Billy Joel auf dem Klavier spielen zu können? Richtig viel Übung! Was ich dir heute aber sagen will: Die binomischen Formeln sind nicht der Root Bear Rag, den du und ich wahrscheinlich niemals fehlerfrei spielen werden, sondern eher „Morgen kommt der Weihnachtsmann“. Eine halbe Stunde dransetzen, dann hast du das wesentliche verstanden und kannst es anwenden. Und diese halbe Stunde beginnt genau jetzt! Was ist ein Binom? In dem Wort „Binom“ steckt „bi“ drin, das heißt „zwei“. Hier ist einfach die Summe aus zwei Summanden gemeint. Das alles sind Binome: a + b x + y Und wenn da mal ein Minuszeichen drin ist, dann ist es trotzdem ein Binom, denn Subtraktion ist ja einfach nur Addition der Gegenzahl: Binome multiplizieren Wenn man zwei Binome miteinander malnehmen will, nennt man das im Tagesgeschäft „ausmultiplizieren“: Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summand der zweiten malgenommen: Übung: Die Sache mit den Vorzeichen Rechne das obige Beispiel nach und prüfe, wo + und – hinkommt: Jedes Vorzeichen wird im ersten Schritt erstmal mitgenommen. Beim Zusammenfassen wird dann gerechnet: „+ mal +“ und „- mal -“ ergibt „+“ „+ mal -“ und „- mal +“ ergibt „-„. Ein Binom mit sich selbst malnehmen Hier kommt noch eine etwas übersichtlichere Aufgabe – ein Binom, das mit sich selbst malgenommen wird: Dieser Fall eines Binoms, das mit sich selbst multpliziert (also quadriert) wird, wird so dermaßen oft benötigt, dass die Formel einen eigenen Namen bekommen hat: Die erste binomische Formel Sie gibt an, wie man das Quadrat eines Binoms berechnet. (Wenn du jetzt schon vergessen hast, was ein Binom ist , lies nochmal weiter oben.) Und hier kommt die Formel, die wir eben schon bewiesen haben: Das Binom in der Klammer kann übrigens ziemlich vielfältig aussehen. Da musst du dich ein bißchen von den Buchstaben a und b lösen und sie als Platzhalter für alles Mögliche sehen. Bei uns im Leistungskurs Mathe 1992 hieß es damals: Gerade das „2klimbim“ in der Mitte ist fehleranfällig, wobei viele Fehler wohl mit dem Vergessen der „2“ zu tun haben. Deshalb kommen jetzt Beispiele zur ersten binomischen Formel, und ich lade dich ein, sie alle für dich nachzurechnen. Aber bitte erst selber rechnen und dann mit dem richtigen Ergebnis vergleichen. Denn wenn du dir nur anschaust, was ich gerechnet habe, wirst du niemals erfahren, was du alles falsch gemacht hättest. Also: Mach deine eigenen Fehler und lerne daraus! Beispiele zur ersten binomischen Formel Denke dir weitere Aufgaben zur ersten binomischen Formel aus und rechne sie! Die zweite binomische Formel: Subtraktion Nun betrachten wir das Binom und berechnen sein Quadrat: Hier ist es wichtig, dass du dir die Vorzeichenfolge „plus, minus, plus“ merkst. Nun die Beispiele: